Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2-（3k+1）x+2k2+2k=0.

（1）求證：無論k取何實數值，方程總有實數根；

（2）若等腰△ABC的一邊長a=6，另兩邊長b、c恰好是這個方程的兩個根，求此三角形的周長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△ABC的周長為16或22.

【解析】

（1）計算方程的判別式大于等于0即可；
（2）由等腰三角形的性質有a=b=6、a=c=6或b=c三種情況，當b=6或c=6時，可知x=2為方程的一個根，代入可求得k的值，則可求得方程的根，可求得三邊長；當b=c時，可知方程有兩個相等的實數根，由判別式等于0可求得k，同樣可求得方程的兩根，可求得三角形的三邊長和周長．

（1）∵=b2-4ac=［-（3k+1）］2-4（2k2+2k）=9k2+6k+1-8k2-8k=k2-2k+1=（k-1）2≥0，

∴無論k取何值，方程總有實數根．

（2）①若a=6為底邊，則b，c為腰長，則b=c，則△=0．

∴（k-1）2=0，解得k=1．

此時原方程化為x2-4x+4=0.

∴x1=x2=2，即b=c=2．

此時△ABC三邊為6，2，2不能構成三角形.

②若a=b為腰，則b，c中一邊為腰，不妨設b=a=6，

代入方程：62-6（3k+1）+2k2+2k=0，

解得k=3或5.

則原方程化為x2-10x+24=0，或x2-16x+60=0.

解得x1=4，x2=6；或x1=6，x2=10.

所以b=6，c=4；或b=6，c=10.

此時△ABC三邊為6，6，4或6，6，10能構成三角形，

所以△ABC的周長為6+6+4=16，或6+6+10=22.