【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,有不重合的兩個(gè)點(diǎn)Q(x1,y1)與P(x2,y2).若Q,P為某個(gè)直角三角形的兩個(gè)銳角頂點(diǎn),且該直角三角形的直角邊均與x軸或y軸平行(或重合),則我們將該直角三角形的兩條直角邊的邊長之和稱為點(diǎn)Q與點(diǎn)P之間的“折距”,記做DPQ.特別地,當(dāng)PQ與某條坐標(biāo)軸平行(或重合)時(shí),線段PQ的長即點(diǎn)Q與點(diǎn)P之間的“折距”.例如,在圖1中,點(diǎn)P(1,-1),點(diǎn)Q(3,-2),此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)P之間的“折距”DPQ=3.
(1)①已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(3,-2),B(-1,0),則DAO=______,DBO=______.
②點(diǎn)C在直線y=-x+4上,請(qǐng)你求出DCO的最小值.
(2)點(diǎn)E是以原點(diǎn)O為圓心,1為半徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F是直線y=3x+6上以動(dòng)點(diǎn).請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)E與點(diǎn)F之間“折距”DEF的最小值.
【答案】(1)①5;1;②DCO的最小值為4;(2)DEF的最小值為.
【解析】
(1)①根據(jù)“折距”的定義可得DAO=|3|+|-2|=5,DBO=BO==1即可求解;②設(shè)點(diǎn)C(m,4-m),則DCO=|m|+|4-m |,當(dāng)0≤m≤4時(shí),DO最小,即可求解;
(2)過點(diǎn)E分別作x、y軸的平行線交直線y=3x+6于F1、F2,則EF1是“折距”DEF的最小值,即求EF1的最小值即可,當(dāng)點(diǎn)E在y軸左側(cè)于平行于直線y=3x+6的直線相切時(shí),EF1最小,即可求解.
解:(1)①DAO=|3|+|-2|=5,DBO=BO=1,
故答案為:5,1;
②設(shè)點(diǎn)C(m,4-m),則DCO=|m|+|4-m|,
當(dāng)m<0時(shí),DCO=-m+4-m=4-2m>4;
當(dāng)0≤m≤4時(shí),DCO=m+4-m=4;
當(dāng)m>4時(shí),DCO=m+m-4=2m-4>4,
綜上可知,當(dāng)0≤m≤4時(shí),DCO取得最小值,DCO的最小值為4;
(2)如圖2,過點(diǎn)E分別作x、y軸的平行線交直線y=3x+6于F1、F2,則EF1是“折距”DEF的最小值,即求EF1的最小值即可,
又當(dāng)點(diǎn)E在y軸左側(cè)于平行于直線y=3x+6的直線相切時(shí),EF1最小,如圖3,將直線y=3x+6向右平移與圓相切于點(diǎn)E,平移后的直線與x軸交于點(diǎn)G,連接OE,過E作EF1∥x軸交直線y=3x+6于點(diǎn)F1,此時(shí)EF1即為DEF的最小值.
設(shè)原直線與x、y軸交于點(diǎn)M、N,則點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為(-2,0)、點(diǎn)N(0,6),
則MN=2,
又MN∥EG,∴∠NMO=∠EGO,又∠MON=∠OEG=90°,
∴△MON∽△GEO,
∴,即,
∴GO=,
又EF1∥MG,F1M∥EG,
∴四邊形EF1MG為平行四邊形,
∴EF1=MG=OM-OG=2-=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長是16,點(diǎn)E在邊AB上,AE=3,點(diǎn)F是邊BC上不與點(diǎn)B、C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),把△EBF沿EF折疊,點(diǎn)B落在B′處,若△CDB′恰為等腰三角形,則DB′的長為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為爭創(chuàng)文明城市,我市交警部門在全市范圍開展了安全使用電瓶車專項(xiàng)宣傳活動(dòng).在活動(dòng)前和活動(dòng)后分別隨機(jī)抽取了部分使用電瓶車的市民,就騎電瓶車戴安全帽情況進(jìn)行問卷調(diào)查,并將兩次收集的數(shù)據(jù)制成如下統(tǒng)計(jì)圖表.
類別 | 人數(shù) | 百分比 |
A | 68 | 6.8% |
B | 245 | b% |
C | a | 51% |
D | 177 | 17.7% |
總計(jì) | c | 100% |
根據(jù)以上提供的信息解決下列問題:
(1)a= ,b= c=
(2)若我市約有30萬人使用電瓶車,請(qǐng)分別計(jì)算活動(dòng)前和活動(dòng)后全市騎電瓶車“都不戴”安全帽的人數(shù).
(3)經(jīng)過某十字路口,汽車無法繼續(xù)直行只可左轉(zhuǎn)或右轉(zhuǎn),電動(dòng)車不受限制,現(xiàn)有一輛汽車和一輛電動(dòng)車同時(shí)到達(dá)該路口,用畫樹狀圖或列表的方法求汽車和電動(dòng)車都向左轉(zhuǎn)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們把“有兩條邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形”叫做“同族三角形”,如圖1,在△ABC和△ABD中,AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,則△ABC和△ABD是“同族三角形”.
(1)如圖2,四邊形ABCD內(nèi)接于圓,點(diǎn)C是弧BD的中點(diǎn),求證:△ABC和△ACD是同族三角形;
(2)如圖3,△ABC內(nèi)接于⊙O,⊙O的半徑為,AB=6,∠BAC=30°,求AC的長;
(3)如圖3,在(2)的條件下,若點(diǎn)D在⊙O上,△ADC與△ABC是非全等的同族三角形,AD>CD,求 的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)F在ABCD的對(duì)角線AC上,過點(diǎn)F、B分別作AB、AC的平行線相交于點(diǎn)E,連接BF,∠ABF=∠FBC+∠FCB.
(1)求證:四邊形ABEF是菱形;
(2)若BE=5,AD=8,sin∠CBE=,求AC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若矩形的一個(gè)短邊與長邊的比值為,(黃金分割數(shù)),我們把這樣的矩形叫做黃金矩形
(1)操作:請(qǐng)你在如圖所示的黃金矩形ABCD(AB>AD)中,以短邊AD為一邊作正方形AEFD.
(2)探究:在(1)中的四邊形EBCF是不是黃金矩形?若是,請(qǐng)予以證明;若不是,請(qǐng)說明理由.
(3)歸納:通過上述操作及探究,請(qǐng)概括出具體有一般性的結(jié)論(不需證明)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年東營市教育局在全市中小學(xué)開展了“情系疏勒書香援疆”捐書活動(dòng),200多所學(xué)校的師生踴躍參與,向新疆疏勒縣中小學(xué)共捐贈(zèng)愛心圖書28.5萬余本.某學(xué)校學(xué)生社團(tuán)對(duì)本校九年級(jí)學(xué)生所捐圖書進(jìn)行統(tǒng)計(jì),根據(jù)收集的數(shù)據(jù)繪制了下面不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表中所提供的信息解答下列問題:
圖書種類 | 頻數(shù)(本) | 頻率 |
名人傳記 | 175 | a |
科普?qǐng)D書 | b | 0.30 |
小說 | 110 | c |
其他 | 65 | d |
(1)求該校九年級(jí)共捐書多少本;
(2)統(tǒng)計(jì)表中的a= ,b= ,c= ,d= ;
(3)若該校共捐書1500本,請(qǐng)估計(jì)“科普?qǐng)D書”和“小說”一共多少本;
(4)該社團(tuán)3名成員各捐書1本,分別是1本“名人傳記”,1本“科普?qǐng)D書”,1本“小說”,要從這3人中任選2人為受贈(zèng)者寫一份自己所捐圖書的簡介,請(qǐng)用列表法或樹狀圖求選出的2人恰好1人捐“名人傳記”,1人捐“科普?qǐng)D書”的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中,大圓的弦AB切小圓于點(diǎn)P.
(1)PA與PB相等嗎?請(qǐng)說明理由;
(2)若,求圓環(huán)的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,tan∠ACB=,將其沿對(duì)角線AC剪開得到△ABC和△ADE(點(diǎn)C與點(diǎn)E重合),將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),當(dāng)線段AD與AB在同一條直線上時(shí),連接EC,則∠ECB的正切值為_____.
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