Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過A（-3，0），B（1，0），C（0，-2），點(diǎn)D在y軸的負(fù)半軸上，且點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-9），
①求二次函數(shù)的解析式．
②點(diǎn)E在①中的拋物線上，四邊形ABCE是以AB為一底邊的梯形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
③在①、②成立的條件下，過點(diǎn)E作直線EF⊥OA，垂足為F，直線EF與線段AD相交于點(diǎn)G，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使直線PG與y軸相交所成的銳角等于梯形ABCE的底角？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：①y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過A（-3，0），B（1，0），C（0，-2），三點(diǎn)，

解得：a=，b=，c=-2．
∴y=x²+x-2．

②由題意和圖象可知CE∥AB，
∴E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-2，
∴-2=x²+x-2．
即x²+2x=0，
∴x₁=0（舍），x₂=-2，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-2）；

③答：存在．
如圖所示：假定在拋物線上存在一點(diǎn)P，使直線PG與y軸相交所成的銳角等于梯形ABCE的底角，即點(diǎn)P是拋物線與直線AD的交點(diǎn)．
設(shè)直線AD的解析表達(dá)式為y=kx+b，并設(shè)直線AD與FG交于點(diǎn)Q，
把點(diǎn)A（-3，0），點(diǎn)Q（0，-9）代入y=kx+b中，
得，
解得：．
∴直線AD的解析表達(dá)式為y=-3x-9．
設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），則有y₀=-3x₀-9．③
把③代入②，得 x₀²+x₀=-x₀-2，
∴x₀²+（+1）x₀+2=0，
即x₀²+2（+1）x₀+4 =0．
∴（x₀+2）（x₀+2）=0．
解得x₀=-2 或x₀=-2．
當(dāng)x₀=-2時(shí)，y=-x₀-2=2-2=0；
當(dāng)x₀=-2時(shí)，y₀=-x₀-2=2-2．
∴在拋物線上存在點(diǎn)P₁（-2，-2），P₂（-2，2-2），使直線PG與y軸相交所成的銳角等于梯形ABCE的底角．
分析：①已知函數(shù)的圖象經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)，把三點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式就可以得到一個(gè)三元一次方程組，就可以求出函數(shù)的解析式；
②由題意和圖象可知CE∥AB，可求的E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-2，把-1代入y=x²+x-2．可求的點(diǎn)E橫坐標(biāo)．
③由條件可知P點(diǎn)必為直線AD與拋物線的交點(diǎn)，先求出直線AD的解析式，然后聯(lián)立拋物線的解析式可得出P點(diǎn)坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．綜合性強(qiáng)，能力要求極高．