Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點M（﹣2，），頂點坐標為N（﹣1，），且與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P為直線y＝﹣1上的動點，Q是拋物線線上的動點，若以A，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標；

（3）在直線AC上是否存在一點Q，使△QBM的周長最小？若存在，求出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣；（2）點P（0，﹣1）或（﹣2﹣2，﹣1）或（﹣，﹣1）；（3）存在，點Q（﹣）．

【解析】

（1）拋物線的表達式為：y＝a（x+1）2，將點M的坐標代入上式，即可求解；

（2）分AC是平行四邊形的一條邊、AC是平行四邊形對角線兩種情況，分別求解即可；

（3）作點M關于直線AC的對稱軸M′，連接BM′交直線AC于點P，則點P為所求，即可求解．

解：（1）拋物線的表達式為：y＝a（x+1）2，

將點M的坐標代入上式得：＝a（﹣2+1）2，解得：a＝﹣，

故拋物線的表達式為：y＝﹣；

（2）設點Q（m，n），則n＝﹣m2﹣m+，點P（s，﹣1），

①當AC是平行四邊形的一條邊時，

點C向下平移個單位得到A，

同樣，點Q（P）向下平移個單位得到P（Q），

故：m﹣＝s，n+1＝﹣1，或m+＝s，n﹣1＝﹣1，且n＝﹣m2﹣m+，

解得：m＝或﹣2﹣或1或3（舍去1），

故s＝0或﹣2﹣2或﹣，

故點P（0，﹣1）或（﹣2﹣2，﹣1）或（﹣，﹣1）；

②當AC是平行四邊形對角線時，

1＝m+s，＝n﹣1，解得：方程無解；

綜上，故點P（0，﹣1）或（﹣2﹣2，﹣1）或（﹣，﹣1）；

（3）作點M關于直線AC的對稱軸M′，連接BM′交直線AC于點P，則點P為所求，

連接MC，∵點M、C的縱坐標相同，故CM∥x軸，過點M′作MC的垂線交MC的延長線于點H，連接CM′，

直線AC的傾斜角為60°，則∠OCA＝∠CMM′＝30°＝∠CM′M，則CM＝2＝CM′，

則∠M′CH＝60°，故CH＝CM′＝1，則M′H＝，故點M′為（1，2）；

將點A、C的坐標代入一次函數(shù)表達式：y＝kx+b并解得：

直線AC的表達式為：y＝﹣x+；

同理直線BM′的表達式為：y＝x+；

聯(lián)立AC、BM′的函數(shù)表達式并解得：x＝﹣ ，

故點Q（﹣）．