Question

【題目】我們知道，平面內(nèi)互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，如果兩條數(shù)軸不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么這兩條數(shù)軸構(gòu)成的是平面斜坐標(biāo)系，兩條數(shù)軸稱(chēng)為斜坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸，公共原點(diǎn)稱(chēng)為斜坐標(biāo)系的原點(diǎn)，如圖1，經(jīng)過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)P作坐標(biāo)軸的平行線PM和PN，分別交x軸和y軸于點(diǎn)M，N．點(diǎn)M、N在x軸和y軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別叫做P點(diǎn)的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)，有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）稱(chēng)為點(diǎn)P的斜坐標(biāo)，記為P（x，y）

（1）如圖2，ω＝45°，矩形OABC中的一邊OA在x軸上，BC與y軸交于點(diǎn)D，

OA＝2，OC＝1．

①點(diǎn)A、B、C在此斜坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)分別為A　　，B　　，C　　．

②設(shè)點(diǎn)P（x，y）在經(jīng)過(guò)O、B兩點(diǎn)的直線上，則y與x之間滿足的關(guān)系為　　．

③設(shè)點(diǎn)Q（x，y）在經(jīng)過(guò)A、D兩點(diǎn)的直線上，則y與x之間滿足的關(guān)系為　　．

（2）若ω＝120°，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

①如圖3，圓M與y軸相切原點(diǎn)O，被x軸截得的弦長(zhǎng)OA＝2，求圓M的半徑及圓心M的斜坐標(biāo)．

②如圖4，圓M的圓心斜坐標(biāo)為M（2，2），若圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到y軸的距離為1，則圓M的半徑r的取值范圍是　　．

Answer 1

【答案】（1）①（2，0），（1，），（﹣1，）；②y＝x；③y＝﹣x+；

（2）①半徑為2，M（）；②2＜r＜4

【解析】

（1）①如圖21中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x軸于F．求出OE、OF、CF、OD、BE即可解決問(wèn)題；
②如圖22中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M．利用平行線分線段成比例定理即可解決問(wèn)題；
③如圖33中，作QM∥OA交OD于M．利用平行線分線段成比例定理即可解決問(wèn)題；
（2）①如圖3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y軸交OA于N．解直角三角形即可解決問(wèn)題；
②如圖4中，連接OM，作MK∥x軸交y軸于K，作MN⊥OK于N交⊙M于E、F．求出FN＝NE＝1時(shí)，⊙M的半徑即可解決問(wèn)題；

解：（1）①如圖2﹣1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x軸于F．

由題意OC＝CD＝1，OA＝BC＝2，

∴BD＝OE＝1，OD＝CF＝BE＝，

∴A(2,0)，B(1,)，C(﹣1,)，

故答案為：A(2,0)，B(1,)，C(﹣1,)．

②如圖2﹣2中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M．

∵OD∥BE，OD∥PM，

∴BE∥PM，

∴，

∴，

∴y＝x．

故答案為：y＝x．

③如圖2﹣3中，作QM∥OA交OD于M．

∴

故答案為：y＝﹣x+．

（2）①如圖3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y軸交OA于N．

∵ω＝120°，OM⊥y軸，

∴∠MOA＝30°，

∵MF⊥OA，OA＝，

∴OF＝FA＝，

∴FM＝1，OM＝2FM＝2，

∴圓M的半徑為2

∵MN∥y軸，

∴MN⊥OM，

∴MN＝，ON＝2MN＝，

∴M．

②如圖4中，連接OM，作MK∥x軸交y軸于K，作MN⊥OK于N交⊙M于E、F．

∵MK∥x軸，ω＝120°，

∴∠MKO＝60°，

∵MK＝OK＝2，

∴△MKO是等邊三角形，

∴MN＝3，

當(dāng)FN＝1時(shí)，MF＝3﹣1=2，

當(dāng)EN＝1時(shí)，ME＝3+1=4，

觀察圖象可知當(dāng)⊙M的半徑r的取值范圍為2＜r＜4．

故答案為：2＜r＜4．