【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=-x+1與拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)相交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)D(-4,5),并與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的對稱軸為直線x=-1,且拋物線與x軸交于另一點(diǎn)B.
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若點(diǎn)E是直線下方拋物線上的一個動點(diǎn),求出△ACE面積的最大值;
(3)如圖2,若點(diǎn)M是直線x=-1的一點(diǎn),點(diǎn)N在拋物線上,以點(diǎn)A,D,M,N為頂點(diǎn)的四邊形能否成為平行四邊形?若能,請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不能,請說明理由.
【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為y=x2+2x-3;(2)△ACE的面積的最大值為;(3)當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,26)或(-1,16)或(-1,8)時,以點(diǎn)A,D,M,N為頂點(diǎn)的四邊形能成為平行四邊形.
【解析】試題分析:(1)先利用拋物線的對稱性確定出點(diǎn)B的坐標(biāo),然后設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x-1),將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入求得a的值即可;
(2)過點(diǎn)E作EF∥y軸,交AD與點(diǎn)F,過點(diǎn)C作CH⊥EF,垂足為H.設(shè)點(diǎn)E(m,m2+2m-3),則F(m,-m+1),則EF=-m2-3m+4,然后依據(jù)△ACE的面積=△EFA的面積-△EFC的面積列出三角形的面積與m的函數(shù)關(guān)系式,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得△ACE的最大值即可;
(3)當(dāng)AD為平行四邊形的對角線時.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,a),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x,y),利用平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)可求得x的值,然后將x=-2代入求得對應(yīng)的y值,然后依據(jù)=,可求得a的值;當(dāng)AD為平行四邊形的邊時.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,a).則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-6,a+5)或(4,a-5),將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得a的值.
試題解析:(1)∴A(1,0),拋物線的對稱軸為直線x=-1,
∴B(-3,0),
設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x+3)(x-1),
將點(diǎn)D(-4,5)代入,得5a=5,解得a=1,
∴拋物線的表達(dá)式為y=x2+2x-3;
(2)過點(diǎn)E作EF∥y軸,交AD與點(diǎn)F,交x軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)C作CH⊥EF,垂足為H.
設(shè)點(diǎn)E(m,m2+2m-3),則F(m,-m+1).
∴EF=-m+1-m2-2m+3=-m2-3m+4.
∴S△ACE=S△EFA-S△EFC=EF·AG-EF·HC=EF·OA=- (m+)2+.
∴△ACE的面積的最大值為;
(3)當(dāng)AD為平行四邊形的對角線時:
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,a),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x,y).
∴平行四邊形的對角線互相平分,
∴=, =,
解得x=-2,y=5-a,
將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式,得5-a=-3,
解得a=8,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,8),
當(dāng)AD為平行四邊形的邊時:
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,a),則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-6,a+5)或(4,a-5),
∴將x=-6,y=a+5代入拋物線的表達(dá)式,得a+5=36-12-3,解得a=16,
∴M(-1,16),
將x=4,y=a-5代入拋物線的表達(dá)式,得a-5=16+8-3,解得a=26,
∴M(-1,26),
綜上所述,當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,26)或(-1,16)或(-1,8)時,以點(diǎn)A,D,M,N為頂點(diǎn)的四邊形能成為平行四邊形.
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【題目】2013年12月2日,“嫦娥三號”從西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空,并于12月14日在月球上成功實(shí)施軟著陸.月球距離地球平均為38萬公里,將數(shù)38萬用科學(xué)記數(shù)法表示,其結(jié)果( )
A.3.8×104
B.38×104
C.3.8×105
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(1)當(dāng)P、C都在AB上方時(如圖1),判斷PO與BC的位置關(guān)系(只回答結(jié)果);
(2)當(dāng)P在AB上方而C在AB下方時(如圖2),(1)中結(jié)論還成立嗎?證明你的結(jié)論;
(3)當(dāng)P、C都在AB上方時(如圖3),過C點(diǎn)作CD⊥直線AP于D,且CD是⊙O的切線,求證:AB=4PD.
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【題目】如圖,AB,BC,CD分別與⊙O相切于E,F,G.且AB∥CD.BO=6cm,CO=8cm.
(1)求證:BO⊥CO;
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(1)求這條拋物線的表達(dá)式;
(2)連接AB、BC、CD、DA,求四邊形ABCD的面積.
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【題目】(本題滿分6分)小明家的房前有一塊矩形的空地,空地上有三棵樹A、B、C,小明
想建一個圓形花壇,使三棵樹都在花壇的邊上.
(1)(本小題滿分4分)請你幫小明把花壇的位置畫出來(尺規(guī)作圖,不寫作法,保
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