【題目】已知x軸上有點(diǎn)A(1,0),點(diǎn)B在y軸上,點(diǎn)C(m,0)為x軸上一動點(diǎn)且m<﹣1,連接AB,BC,tan∠ABO= ,以線段BC為直徑作⊙M交直線AB于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作直線l∥AC,過A,B,C三點(diǎn)的拋物線為y=ax2+bx+c,直線l與拋物線和⊙M的另一個交點(diǎn)分別是E,F(xiàn).
(1)求B點(diǎn)坐標(biāo);
(2)用含m的式子表示拋物線的對稱軸;
(3)線段EF的長是否為定值?如果是,求出EF的長;如果不是,說明理由.
(4)是否存在點(diǎn)C(m,0),使得BD= AB?若存在,求出此時m的值;若不存在,說明理由.
【答案】
(1)
解:∵tan∠ABO= ,且A(1,0),
∴OB=2,即:點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,2)
(2)
解:點(diǎn)C(m,0),A(1,0),B(0,2)在拋物線y=ax2+bx+c上,
∴
解之得:b=﹣ ,a= ,
∴x=﹣ = .
即:拋物線的對稱軸為x=
(3)
解:∵點(diǎn)E在拋物線y=ax2+bx+c上,又在直線y=2上,
∴2=ax2+bx+2
∴x1=0,x2=﹣
∴E(﹣ ,2),
又∵直線l∥x軸,BC是⊙M的直徑,
∴BF∥OC,BF=OC,
∴F(m,2)
∴EF=﹣ ﹣m,
∵點(diǎn)C(m,0)為x軸上一動點(diǎn)且m<﹣1,
∴m的值是一個變量,
即:線段EF的長不是定值
(4)
解:如下圖所示:連接CD
∵BCS是⊙M的直徑,
∴∠CDB=90°,
∵若BD= AB,即BD=DA
則易證CB=CA
∴ =1﹣m
解之得m=﹣ ,
即:存在一點(diǎn)C(﹣ ,0),使得BD= AB
【解析】(1)根據(jù)正切函數(shù)的定義及點(diǎn)A的坐標(biāo)求解;(2)因?yàn)辄c(diǎn)C、A、B在拋物線上,故代入其坐標(biāo)列方程組求解即可;(3)點(diǎn)E(x,y)既在拋物線y=ax2+bx+2上,又在直線y=2上,所以有2=ax2+bx+2,由此可知E(﹣ ,2),又因?yàn)橹本l∥x軸,BC是⊙M的直徑,由圓的對稱性可知BF∥OC且BF=OC,所以F(m,2),由此可分析EF長;(4)連接CD,因?yàn)锽C為圓的直徑,所以∠BDC=90°,若BD= AB,可證明CA=CB,由此可求得符合題意的點(diǎn)C(﹣ ,0).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊),與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,且OA=OC=1,則下列關(guān)系中正確的是( )
A.a+b=1
B.b<2a
C.a﹣b=﹣1
D.ac<0
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商品公司為指導(dǎo)某種應(yīng)季商品的生產(chǎn)和銷售,在對歷年市場行情和生產(chǎn)情況進(jìn)行調(diào)查基礎(chǔ)上,對今年這種商品的市場售價和生產(chǎn)成本進(jìn)行了預(yù)測并提供了兩個方面的信息:如圖(1)(2).
注:兩圖中的每個實(shí)心黑點(diǎn)所對應(yīng)的縱坐標(biāo)分別指相應(yīng)月份一件商品的售價和成本,生產(chǎn)成本6月份最高;圖(1)的圖象是線段,圖(2)的圖象是拋物線.
(1)在3月份出售這種商品,一件商品的利潤是多少?
(2)設(shè)t月份出售這種商品,一件商品的成本Q(元),求Q關(guān)于t的函數(shù)解析式.
(3)設(shè)t月份出售這種商品,一件商品的利潤W(元),求W關(guān)于t的函數(shù)解析式.
(4)問哪個月出售這種商品,一件商品的利潤最大?簡單說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知線段AB
(1)請用尺規(guī)按下列要求作圖:
①延長線段AB到C,使BC=AB,
②延長線段BA到D,使AD=AC(不寫畫法,當(dāng)要保留畫圖痕跡)
(2)請直接回答線段BD與線段AC長度之間的大小關(guān)系
(3)如果AB=2cm,請求出線段BD和CD的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,菱形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1),點(diǎn)C在第一象限,對角線BD與x軸平行.直線y=x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E,F(xiàn).將菱形ABCD沿x軸向左平移k個單位,當(dāng)點(diǎn)C落在△EOF的內(nèi)部時(不包括三角形的邊),k的值可能是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一家商店因換季將某種服裝打折銷售,每件服裝如果按標(biāo)價的4折出售將虧40元,而按標(biāo)價8折出售將賺40元.問:
(1)每件服裝的標(biāo)價是多少元?
(2)每件服裝的成本是多少元?
(3)為了保證不虧損,最多可以打幾折?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料:小華遇到這樣一個問題:
已知:如圖1,在△ABC中,三邊的長分別為AB= ,AC= ,BC=2,求∠A的正切值.
小華是這樣解決問題的:
如圖2所示,先在一個正方形網(wǎng)格(每個小正方形的邊長均為1)中畫出格點(diǎn)△ABC(△ABC三個頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處),然后在這個正方形網(wǎng)格中再畫一個和△ABC相似的格點(diǎn)△DEF,從而使問題得解.
(1)如圖2,△DEF中與∠A相等的角為 , ∠A的正切值為 .
(2)參考小華的方法請解決問題:若△LMN的三邊分別為LM=2,MN=2 ,LN=2 ,求∠N的正切值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】材料1:反射定律
當(dāng)入射光線AO照射到平面鏡上時,將遵循平面鏡反射定律,即反射角(∠BOM)的大小等于入射角(∠AOM)的大小,顯然,這兩個角的余角也相等,其中法線(OM)與平面鏡垂直,并且滿足入射光線、反射光線(OB)與法線在同一個平面.
材料2:平行逃逸角
對于某定角∠AOB=α(0°<α<90°),點(diǎn)P為邊OB上一點(diǎn),從點(diǎn)P發(fā)出一光線PQ(射線),其角度為∠BPQ=β(0°<β<90°),當(dāng)光線PQ接觸到邊OA和OB時會遵循反射定律發(fā)生反射,當(dāng)光線PQ經(jīng)過n次反射后與邊OA或OB平行時,稱角為定角α的n階平行逃逸角,特別地,當(dāng)光線PQ直接與OA平行時,稱角β為定角α的零階平行逃逸角.
(1)已知∠AOB=α=20°,
①如圖1,若PQ∥OA,則∠BPQ= °,即該角為α的零階平行逃逸角;
②如圖2,經(jīng)過一次反射后的光線P1Q∥OB,此時的∠BPP1為α的平行逃逸角,求∠BPP1的大;
③若經(jīng)過兩次反射后的光線與OA平行,請補(bǔ)全圖形,并直接寫出α的二階平行逃逸角為 °;
(2)根據(jù)(1)的結(jié)論,歸納猜想對于任意角α(0°<α<90°),其n(n為自然數(shù))階平行逃逸角β= (用含n和a的代數(shù)式表示).
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