Question

【題目】在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，點M是△ABC的中線AD上一點，以M為圓心作⊙M．設半徑為r

（1）如圖1，當點M與點A重合時，分別過點B，C作⊙M的切線，切點為E，F．求證：BE＝CF；

（2）如圖2，若點M與點D重合，且半圓M恰好落在△ABC的內部，求r的取值范圍；

（3）當M為△ABC的內心時，求AM的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）AM＝．

【解析】

（1）連接AE，AF，利用“HL”證Rt△BAE≌Rt△ACF即可得；

（2）作DG⊥AB，由AB＝AC＝5，AD是中線知AD⊥BC且AD＝＝3，依據BD×AD＝AB×DG可得DG＝，從而得出答案；

（3）作MH⊥AB，MP⊥AC，有MH＝MP＝MD，連接BM、CM，根據ABMH+BCMD+ACMP＝ADBC求出圓M的半徑，從而得出答案．

解：（1）如圖1，連接AE，AF，

∵BE和CF分別是⊙O的切線，

∴∠BEA＝∠CFA＝90°，

∵AB＝AC，AE＝AF，

∴Rt△BAE≌Rt△ACF（HL），

∴BE＝CF；

（2）如圖2，過點D作DG⊥AB于點G，

∵AB＝AC＝5，AD是中線，

∴AD⊥BC，

∴AD＝＝3，

∴BD×AD＝AB×DG，

∴DG＝，

∴當0＜r＜時，半圓M恰好落在△ABC內部；

（3）當M為△ABC的內心時，

如圖3，過M作MH⊥AB于H，作MP⊥AC于P，

則有MH＝MP＝MD，

連接BM、CM，

∴ABMH+BCMD+ACMP＝ADBC，

∴r＝，

∴AM＝AD﹣DM＝．