Question

10．四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為其中一條對角線，且S_△ABC：S_△ADC=AB：AD．
（1）如圖1，求證：BC=CD；
（2）如圖2：連接OC，交對角線BD于點E，若∠BAD=60°，求證：OE=EC；
（3）如圖3，在（2）的條件下，過點D作DF⊥AC于點F，連接FO并延長FO，交AB邊于點G，若FG⊥AB，OC=$\sqrt{21}$，求△OFC的面積．

Answer 1

分析 （1）首先利用已知得出CL=CK，再結(jié)合全等三角形的判定方法得出△CKB≌△CLD（AAS），進而得出答案；
（2）首先得出△OBC是等邊三角形，進而得出答案；
（3）利用已知首先得出△AMD是等邊三角形，進而得出BG，EF的長，再利用S_△OEF=$\frac{1}{2}$OF•EF進而得出答案．

解答 （1）證明：過C作CK⊥AB于點K，過C作CL⊥AD于點L，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CK，S_△ADC=$\frac{1}{2}$AD•CL，
∵S_△ABC：S_△ADC=AB：AD．
∴CL=CK，
∵∠B+∠ADC=180°，∠CDL+∠ADC=180°，
∴∠B=∠CDL，
∵∠CKB=∠L=90°，
在△CKB和△CLD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠CDL}\\{∠BKC=∠CLD}\\{KC=LC}\end{array}\right.$，
∴△CKB≌△CLD（AAS），
∴BC=CD．

（2）證明：如圖2，連接OB、OD，
∵BC=CD，
∴∠BOC=∠DOC
∵OB=OD，
∴OE⊥BD，
∵∠BAD=60°，
∴∠BOC=∠DOC=60°，
∴△OBC是等邊三角形，
∴OB=BC，
∴OE=EC；

（3）解：如圖3，延長DF交AB于點M，連接OB，
∵∠BAD=60°，
∴∠BAC=∠CAD=30°，
∵AF⊥DF，
∴∠AFM=∠AFD=90°，
∴∠AMD=∠ADM=60°，
∴△AMD是等邊三角形，
設(shè)MG=a，則MF=2a，AM=AD=MD=4a，GF=$\sqrt{3}$a，
∴AG=BG=3a，∴BM=2a
∵E、F分別是BD、MD中點，∴EF=a，EF∥AB
過B作BN⊥MD，則MN=a，BN=$\sqrt{3}$a，∴DN=5a，
∵BD=$\sqrt{3}$OC，∴BD=3$\sqrt{7}$
在Rt△BND中，（$\sqrt{3}$a）²+（5a）²=（3$\sqrt{7}$）²
解得a=$\frac{3}{2}$，
∴BG=$\frac{9}{2}$，EF=$\frac{3}{2}$，
在Rt△OGB中，OG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OF=$\sqrt{3}$，
∵EF∥AB，
∴∠EFO=∠AGF=90°
∴S_△OEF=$\frac{1}{2}$OF•EF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
∵OE=EC，
∴S_△OFC=2 S_△OEF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點評 此題主要考查了圓的綜合以及全等三角形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確得出MN的長是解題關(guān)鍵．