Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分線AO交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)H為AO上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)H作直線l⊥AO于H，分別交直線AB、AC、BC、于點(diǎn)N、E、M．

（1）當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)（如圖2），求證：BN=CD；

（2）當(dāng)M是BC中點(diǎn)時(shí)，寫出CE和CD之間的等量關(guān)系，并加以證明；

（3）請直接寫出BN、CE、CD之間的等量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CD=2CE；（3）當(dāng)點(diǎn)M 在線段BC 上時(shí)，CD=BN+CE ； 當(dāng)點(diǎn)M 在BC 的延長線上時(shí)，CD=BN-CE ； 當(dāng)點(diǎn)M 在CB 的延長線上時(shí)，CD=CE-BN.

【解析】試題分析：（1）連接ND，先由已知條件證明：DN=DC，再證明BN=DN即可；

（2）當(dāng)M是BC中點(diǎn)時(shí)，CE和CD之間的等量關(guān)系為CD=2CE，過點(diǎn)C作CN'⊥AO交AB于N'．過點(diǎn)C作CG∥AB交直線l于G，再證明△BNM≌△CGM問題得證；

（3）BN、CE、CD之間的等量關(guān)系要分三種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)M在BC的延長線上時(shí)；③當(dāng)點(diǎn)M在CB的延長線上時(shí)．

試題解析：（1 ）證明：連接ND ，

∵AO 平分∠BAC ， ∴∠1= ∠2 ，

∵直線l ⊥AO 于H ， ∴∠4= ∠5=90 °， ∴∠6= ∠7 ， ∴AN=AC ，

∴NH=CH ， ∴AH 是線段NC 的中垂線，∴DN=DC ，∴∠8= ∠9 ，∴∠AND= ∠ACB ，

∵∠AND= ∠B+ ∠3 ，∠ACB=2 ∠B ， ∴∠B= ∠3 ， ∴BN=DN ， ∴BN=DC ；

（2 ）如圖，當(dāng)M 是BC 中點(diǎn)時(shí)，CE 和CD 之間的等量關(guān)系為CD=2CE.

證明：過點(diǎn)C 作CN' ⊥AO 交AB 于N' ，

由（1 ）可得BN'=CD ，AN'=AC ，AN=AE ，∴∠4= ∠3 ，NN'=CE ，

過點(diǎn)C 作CG ∥AB 交直線l 于G ，∴∠4= ∠2 ，∠B= ∠1 ，∴∠2= ∠3 ，∴CG=CE ，

∵M 是BC 中點(diǎn)， ，∴BM=CM ，

∴在△BNM 和△CGM 中，△BNM ≌△CGM ， ∴BN=CG ，∴BN=CE ，

∴CD=BN'=NN'+BN=2CE ；

（3 ）BN 、CE 、CD 之間的等量關(guān)系：

當(dāng)點(diǎn)M 在線段BC 上時(shí)，CD=BN+CE ；

當(dāng)點(diǎn)M 在BC 的延長線上時(shí)，CD=BN-CE ；

當(dāng)點(diǎn)M 在CB 的延長線上時(shí)，CD=CE-BN.