【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+1過A(1,0)、B,(5,0)兩點.

(1)求:拋物線的函數(shù)表達式;
(2)求:拋物線與y軸的交點C的坐標及其對稱軸
(3)若拋物線對稱軸上有一點P,使△COA∽△APB,求點P的坐標.

【答案】
(1)

解:∵拋物線y=ax2+bx+1過A(1,0)、B,(5,0)兩點,

,解得 ,

∴拋物線的函數(shù)表達式為y= x2 x+1


(2)

解:在y= x2 x+1中,令x=0可得y=1,

∴C點坐標為(0,1),

又y= x2 x+1= (x﹣3)2 ,

∴拋物線對稱軸為直線x=3


(3)

解:∵A(1,0),C(0,1),

∴OA=OC=1,

∴△COA為等腰直角三角形,且∠COA=90°,

∵△COA∽△APB,

∴△APB為等腰直角三角形,∠APB=90°,

∵P在拋物線對稱軸上,

∴P到AB的距離= AB= ×(5﹣1)=2,

∴P點坐標為(3,2)或(3,﹣2)


【解析】(1)把A、B兩點坐標代入,可求得a、b的值,可求得拋物線的函數(shù)表達式;(2)根據(jù)(1)中所求拋物線的解析式可求得C點的坐標,及對稱軸;(3)由A、C點的坐標可判定△COA為等腰直角三角形,若△COA∽△APB,可知△APB為等腰直角三角形,利用直角三角形的性質(zhì)可求得P到x軸的距離,可求得P點坐標.
【考點精析】通過靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì),掌握增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減。粚ΨQ軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小;對應角相等,對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形即可以解答此題.

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(__________),得9x–2x=–15–2.(__________)

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(__________),得x=__________.

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