Question

【題目】如圖，AC是⊙O的直徑，OB是⊙O的半徑，PA切⊙O于點A，PB與AC的延長線交于點M，∠COB=∠APB．

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）當OB=3，PA=6時，求MB，MC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明參見解析；（2）MB=4，MC=2．

【解析】

試題分析：（1）證出OB垂直PM是解題的關(guān)鍵，根據(jù)切線的性質(zhì)，可得∠MAP=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得∠P+M=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠M+∠MOB=90°，根據(jù)直角三角形的判定，可得∠MOB=90°，根據(jù)切線的判定，可得答案；（2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得△OBM∽△APM，于是有==，根據(jù)解方程組，可得答案．

試題解析：（1）根據(jù)題意，∵PA切⊙O于點A，∴∠MAP=90°，∴∠P+∠M=90°．∵∠COB=∠APB，∴∠M+∠MOB=90°，∴∠MBO=90°，即OB⊥PB，∵PB經(jīng)過直徑的外端點，∴PB是⊙O的切線；（2）∵∠COB=∠APB，∠OBM=∠PAM，∴△OBM∽△APM，∴==，= ①，= ②，聯(lián)立①②得，解得，所以當OB=3，PA=6時，MB=4，MC=2．