【題目】如圖,已知拋物線P:y=ax2+bx+c(a0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在x軸的正半軸上),與y軸交于點(diǎn)C,矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上,頂點(diǎn)F、G分別在線段BC、AC上,拋物線P上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)如下:

x

3

2

1

2

y

4

0

(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,0),矩形DEFG的面積為S,求S與m的函數(shù)關(guān)系,并指出m的取值范圍;

(3)當(dāng)矩形DEFG的面積S取最大值時(shí),連接DF并延長(zhǎng)至點(diǎn)M,使FM=kDF,若點(diǎn)M不在拋物線P上,求k的取值范圍.

【答案】(1)A(2,0),B(4,0),C(0,4);(2)SDEFG=12m6m2(0<m<2);(3)k且k>0.

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)圖表可以得到,拋物線經(jīng)過的四點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法,設(shè)y=ax2+bx+c,把其中三點(diǎn)的坐標(biāo)代入,就可以求得函數(shù)解析式.進(jìn)而可以求出A、B、C的坐標(biāo);(2)表示出矩形的長(zhǎng)和寬是解決問題的關(guān)鍵,先證ADG∽△AOC,AD=2m,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等,就可以用m表示出DG的長(zhǎng),再根據(jù)BEF∽△BOC,就可以表示出BE,進(jìn)而得到OE,于是ED就可以表示出來.因而S與m的函數(shù)關(guān)系就可以得到;(3)當(dāng)矩形DEFG的面積S取最大值時(shí),就是函數(shù)的值是最大值時(shí),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出相應(yīng)的m的值.則矩形的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)就可以求出,根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出直線DF的解析式.可以求出直線DF與拋物線的交點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)FM=kDF,就可以表示出M的坐標(biāo),把M的坐標(biāo)代入函數(shù)就可以得到一個(gè)關(guān)于k的方程,求出k的值,判斷是否滿足函數(shù)的解析式即可.

試題解析:(1)根據(jù)待定系數(shù)法,設(shè)y=ax2+bx+c(a0),任取x,y的三組值代入,求出解析式為y=x2+x4,令y=0,求出x1=4,x2=2;令x=0,得y=4,A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2,0),B(4,0),C(0,4).(2)由題意,ADG∽△AOC,所以,而AO=2,OC=4,AD=2m,故DG=42m,又BEF∽△BOC,所以,EF=DG,得BE=42m,DE=3m,SDEFG=DGDE=(42m)3m=12m6m2(0<m<2),故S=12m6m2(0<m<2);(3)如下圖,連接DF并延長(zhǎng),SDEFG=12m6m2(0<m<2),m=1時(shí),矩形的面積最大,且最大面積是6.當(dāng)矩形面積最大時(shí),其頂點(diǎn)為D(1,0),G(1,2),F(xiàn)(2,2),E(2,0),設(shè)直線DF的解析式為y=kx+b,易知,k=,b=,y=x,又可求得拋物線P的解析式為:y=x2+x4,令x=x2+x4,可求出x=.設(shè)射線DF與拋物線P相交于點(diǎn)N,則N的橫坐標(biāo)為,過N作x軸的垂線交x軸于H,有==,點(diǎn)M不在拋物線P上,即點(diǎn)M不與N重合時(shí),此時(shí)k的取值范圍是k且k>0.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】先化簡(jiǎn),再求值:(a+2b)2+(a+b)(b﹣a),其中a=2,b=﹣1.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若當(dāng)x=-2時(shí)代數(shù)式ax3+bx-1的值是2,那么當(dāng)x=2時(shí)該代數(shù)式的值是 ;

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列計(jì)算結(jié)果等于1的是(   )

A. (-2)+(-2) B. (-2)-(-2) C. (-2)×(-2) D. (-2)÷(-2)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知x﹣y=﹣3,xy=2,則(x+3)(y﹣3)的值是( )
A.﹣6
B.6
C.2
D.﹣2

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)a為最小的正整數(shù),b是最大的負(fù)整數(shù),c是絕對(duì)值最小的數(shù),則a-b-c=( )

A. 1 B. 0 C. 2 D. 20

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】太陽與地球的平均距離大約是150 000 000千米,數(shù)據(jù)150 000 000用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.1.5×108
B.1.5×109
C.0.15×109
D.15×107

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了進(jìn)一步了解八年級(jí)學(xué)生的身體素質(zhì)情況,體育老師對(duì)八年級(jí)(1)班50位學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試,以測(cè)試數(shù)據(jù)為樣本,繪制出部分頻數(shù)分布表和部分頻數(shù)分布直方圖.如下所示:

組別

次數(shù)x

頻數(shù)(人數(shù))

第1組

80x<100

6

第2組

100x<120

8

第3組

120x<140

a

第4組

140x<160

18

第5組

160x<180

6

請(qǐng)結(jié)合圖表完成下列問題:

(1)表中的a= ;

(2)請(qǐng)把頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整;

(3)這個(gè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在第 組;

(4)若八年級(jí)學(xué)生一分鐘跳繩次數(shù)(x)達(dá)標(biāo)要求是:x<120不合格;120x<140為合格;140x<160為良;x160為優(yōu).根據(jù)以上信息,請(qǐng)你給學(xué)校或八年級(jí)同學(xué)提一條合理化建議:

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,AC是O的直徑,OB是O的半徑,PA切O于點(diǎn)A,PB與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,COB=APB.

(1)求證:PB是O的切線;

(2)當(dāng)OB=3,PA=6時(shí),求MB,MC的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案