【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別與BC、AC交于點D、E,過點D作DF⊥AC于點F.
(1)若⊙O的半徑為3,∠CDF=15°,求陰影部分的面積;
(2)求證:DF是⊙O的切線;
(3)求證:∠EDF=∠DAC.
【答案】(1)陰影部分的面積為3π﹣;(2)證明見解析;(3)證明見解析.
【解析】(1)連接OE,過O作OM⊥AC于M,求出AE、OM的長和∠AOE的度數(shù),分別求出△AOE和扇形AOE的面積,即可求出答案;
(2)連接OD,求出OD⊥DF,根據(jù)切線的判定求出即可;
(3)連接BE,求出∠FDC=∠EBC,∠FDC=∠EDF,即可求出答案.
詳(1)解: 連接OE,過O作OM⊥AC于M,則∠AMO=90°,
∵DF⊥AC,
∴∠DFC=90°,
∵∠FDC=15°,
∴∠C=180°-90°-15°=75°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=75°,
∴∠BAC=180°-∠ABC∠C=30°,
∴OM=OA=×3=,AM=OM=,
∵OA=OE,OM⊥AC,
∴AE=2AM=3,
∴∠BAC=∠AEO=30°,
∴∠AOE=180°-30°-30°=120°,
∴陰影部分的面積S=S扇形AOE-S△AOE=;
(2)證明:連接OD,
∵AB=AC,OB=OD,
∴∠ABC=∠C,∠ABC=∠ODB,
∴∠ODB=∠C,
∴AC∥OD,
∵DF⊥AC,
∴DF⊥OD,
∵OD過O,
∴DF是⊙O的切線;
(3)證明:連接BE,
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠AEB=90°,
∴BE⊥AC,
∵DF⊥AC,
∴BE∥DF,
∴∠FDC=∠EBC,
∵∠EBC=∠DAC,
∴∠FDC=∠DAC,
∵A、B、D、E四點共圓,
∴∠DEF=∠ABC,
∵∠ABC=∠C,
∴∠DEC=∠C,
∵DF⊥AC,
∴∠EDF=∠FDC,
∴∠EDF=∠DAC.
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【題目】現(xiàn)有兩個紙箱,每個紙箱內(nèi)各裝有4個材質(zhì)、大小都相同的乒乓球,其中一個紙箱內(nèi)4個小球上分別寫有1、2、3、4這4個數(shù),另一個紙箱內(nèi)4個小球上分別寫有5、6、7、8這4個數(shù),甲、乙兩人商定了一個游戲,規(guī)則是:從這兩個紙箱中各隨機摸出一個小球,然后把兩個小球上的數(shù)字相乘,若得到的積是2的倍數(shù),則甲得1分,若得到積是3的倍數(shù),則乙得2分.完成一次游戲后,將球分別放回各自的紙箱,搖勻后進行下一次游戲,最后得分高者勝出.。
(1)請你通過列表(或樹狀圖)分別計算乘積是2的倍數(shù)和3的倍數(shù)的概率;
(2)你認為這個游戲公平嗎?為什么?若你認為不公平,請你修改得分規(guī)則,使游戲?qū)﹄p方公平.
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【題目】如圖 ,等腰三角形PEF中,PE=PF,點O在EF邊上(異于點E,F),點Q是PO延長線上一點,若△EFQ為等腰三角形,則稱點Q為△PEF的“同類點”.
(1)如圖,BG平分∠MBN,過射線BM上的點A作AD∥BN,交射線BG于點D,點O為BD上一點,連接AO并延長交射線BN于點C,若∠BAD=100°,∠BCD=70°,求證:點C是△ABD的“同類點”;
(2)如圖③,在5×5的正方形網(wǎng)格圖上有一個△ABC,點A,B,C均在格點上,在給出的網(wǎng)格圖上有一個格點D,使得點D為△ABC的“同類點”,則這樣的點D共有__________個;
(3)凸四邊形ABCD中,∠ABC=110°,DA=AB=BC,對角線AC,BD交于點O,且BD≠CD,若點C為△ABD的“同類點”,請直接寫出滿足條件的∠ADC的度數(shù).
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【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家之一。為了增強居民節(jié)水意識,某市自來水公司對居民用水采用以戶為單位分段計費辦法收費。即一月用水10噸以內(nèi)(包括10噸)的用戶,每噸收水費a元;一月用水超過10噸的用戶,10噸水仍按每噸a元收費,超過10噸的部分,按每噸b元(b>a)收費。設(shè)一戶居民月用水x噸,應收水費y元,y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示。
(1)求a的值;某戶居民上月用水8噸,應收水費多少元?
(2)求b的值,并寫出當x>10時,y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)已知居民甲上月比居民乙多用水4噸,兩家共收水費46元,求他們上月分別用水多少噸?
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【題目】某校為了預測本校九年級男生畢業(yè)體育測試達標情況,隨機抽取該年級部分男生進行了一次測試(滿分50分,成績均記為整數(shù)分),并按測試成績m(單位:分)分成四類:A類(45<m≤50),B類(40<m≤45),C類(35<m≤40),D類(m≤35)繪制出如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請根據(jù)圖中信息解答下列問題:
(1)求本次抽取的樣本容量和扇形統(tǒng)計圖中A類所對的圓心角的度數(shù);
(2)若該校九年級男生有500名,D類為測試成績不達標,請估計該校九年級男生畢業(yè)體育測試成績能達標的有多少名?
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【題目】如圖,在△ABC中,AD是高,AE、BF是角平分線,它們相交于點O,∠BAC=50°,∠C=70°,求∠DAC和∠BOA的度數(shù)
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【題目】如圖,數(shù)軸上,兩點對應的有理數(shù)分別為和12,點從點出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸負方向運動,點同時從點出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向運動,設(shè)運動時間為秒.
(1)求經(jīng)過2秒后,數(shù)軸點、分別表示的數(shù);
(2)當時,求的值;
(3)在運動過程中是否存在時間使,若存在,請求出此時的值,若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB+AC=20,OB,OC分別平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于點D,且OD=3,則圖中陰影部分的面積等于______.
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【題目】如圖,已知∠1+∠4﹦180°,∠2﹦∠E,則EF∥BC,下面是王華同學的推導過程﹐請你幫他在括號內(nèi)填上推導依據(jù)或內(nèi)容.
證明:
∵∠1+∠4﹦180°( ),
∠3﹦∠4 ( ),
∴∠1﹢ ﹦180°.
∴AE∥CG ( )
∴∠E﹦∠CGF( ).
∵∠2﹦∠E(已知)
∴ ∠2﹦∠CGF( ).
∴ BC∥EF( ).
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