Question

【題目】已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖1擺放（點C與點E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8cm，BC＝6cm，EF＝9cm，如圖2，△DEF從圖1的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BA向點A勻速移動．當(dāng)△DEF的頂點D移動到AC邊上時，△DEF停止移動，點P也隨之停止移動．DE與AC相交于點Q，連接PQ，設(shè)移動時間為t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列問題：

（1）用含t的代數(shù)式表示線段AP＝　 　；

（2）當(dāng)t為何值時，點E在∠A的平分線上？

（3）當(dāng)t為何值時，點A在線段PQ的垂直平分線上？

（4）連接PE，當(dāng)t＝1（s）時，求四邊形APEC的面積．

Answer 1

【答案】（1）（10﹣2t）cm．（2）；（3）t＝2；（4）20

【解析】

（1）利用勾股定理求出AB，根據(jù)AP＝AB﹣BP計算即可．

（2）如圖1中，作AT平分∠BAC，作TH⊥AB于H．設(shè)TC＝TH＝x，證明Rt△ATH≌Rt△ATC（HL），推出AH＝AC＝8，在Rt△BTH中，則有（6﹣x）2＝22+x2，求出x即可解決問題．

（3）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AP＝AQ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CE＝CQ，根據(jù)勾股定理求出AB，列式計算即可．

（4）作PM⊥BE交BE于M，根據(jù)S四邊形APEC＝S△ABC﹣S△BPE計算算即可．

（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，

∴AB＝＝＝10（cm），

由題意PA＝AB﹣BP＝（10﹣2t）cm，

故答案為（10﹣2t）cm．

（2）如圖1中，作AT平分∠BAC，作TH⊥AB于H．

∵TC⊥AC，TH⊥AB，TA平分∠ABC，

∴TC＝TH，∠AHT＝∠ACT＝90°，設(shè)TC＝TH＝x，

∵AT＝AT，

∴Rt△ATH≌Rt△ATC（HL），

∴AH＝AC＝8，

∴BH＝AB﹣AH＝10﹣8＝2，

在Rt△BTH中，則有（6﹣x）2＝22+x2，

解得x＝，

∴當(dāng)t為時，點E在∠A的平分線上．

（3）∵點A在線段PQ的垂直平分線上，

∴AP＝AQ，

∵∠DEF＝45°，∠ACB＝90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC＝180°，

∴∠EQC＝45°，

∴∠DEF＝∠EQC，

∴CE＝CQ，

由題意知：CE＝t，BP＝2t，

∴CQ＝t，

∴AQ＝8﹣t，

在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝10cm，

則AP＝10﹣2t，

∴10﹣2t＝8﹣t，

解得：t＝2，

答：當(dāng)t＝2s時，點A在線段PQ的垂直平分線上；

（4）如圖2中，過P作PM⊥BE，交BE于M，

∴∠BMP＝90°，

在Rt△ABC和Rt△BPM中，sinB＝＝，

∴＝，

解得，PM＝，

∵BC＝6cm，CE＝t，

∴BE＝6﹣1＝5，

∴S四邊形APEC＝S△ABC﹣S△BPE＝×BC×AC﹣×BE×PM＝×6×8﹣×5×＝20．