Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：已知兩個(gè)函數(shù)，如果對(duì)于任意的自變量x，這兩個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值記為y1、y2，都有點(diǎn)（x，y1）和（x，y2）關(guān)于點(diǎn)（x，x）中心對(duì)稱（包括三個(gè)點(diǎn)重合時(shí)），由于對(duì)稱中心都在直線y=x上，所以稱這兩個(gè)函數(shù)為關(guān)于直線y=x的特別對(duì)稱函數(shù)．例如：y=x和y=為關(guān)于直線y=x的特別對(duì)稱函數(shù)．

（1）若y=3x+2和y=kx+t（k≠0）為關(guān)于直線y=x的特別對(duì)稱函數(shù)，點(diǎn)M（1，m）是y=3x+2上一點(diǎn)．

①點(diǎn)M（1，m）關(guān)于點(diǎn)（1，1）中心對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為　　．

②求k、t的值．

（2）若y=3x+n和它的特別對(duì)稱函數(shù)的圖象與y軸圍成的三角形面積為2，求n的值．

（3）若二次函數(shù)y=ax2+bx+c和y=x2+d為關(guān)于直線y=x的特別對(duì)稱函數(shù)．

①直接寫(xiě)出a、b的值．

②已知點(diǎn)P（﹣3，1）、點(diǎn)Q（2，1），連結(jié)PQ，直接寫(xiě)出y=ax2+bx+c和y=x2+d兩條拋物線與線段PQ恰好有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)d的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ①（1，﹣3）；②k=﹣1，t=﹣2；(2) n=±2；(3) ①a=﹣1，b=2，c=﹣d, ②y=ax2+bx+c和y=x2+d兩條拋物線與線段PQ恰好有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)d的取值范圍為﹣8≤d＜﹣3或0≤d＜1

【解析】

(1)、將點(diǎn)代入函數(shù)解析式求出m的值，根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)的求法得出答案；根據(jù)特別對(duì)稱函數(shù)的性質(zhì)分別求出k和t的值；(2)、設(shè)y=3x+n①的特別對(duì)稱函數(shù)為y=m'x+n'，根據(jù)特別對(duì)稱函數(shù)的性質(zhì)得出m'=﹣1，n'=﹣n，則y=3x+n的特別對(duì)稱函數(shù)為y=﹣x﹣n②，聯(lián)立方程組求出x=﹣n，y=﹣n，根據(jù)面積為2求出n的值；(3)、根據(jù)特別對(duì)稱函數(shù)的性質(zhì)得出∴a=﹣1，b=2，c=﹣d，根據(jù)有交點(diǎn)分別畫(huà)出兩個(gè)不同的圖形，從而得出答案．

（1）①∵點(diǎn)M（1，m）是y=3x+2上一點(diǎn)，∴m=5，

∴M（1，5），∴點(diǎn)M關(guān)于（1，1）中心對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣3）；

②∵y=3x+2和y=kx+t（k≠0）為關(guān)于直線y=x的特別對(duì)稱函數(shù)， ∴=x，

∴（1+k）x+（t+2）=0， ∴k=﹣1，t=﹣2；

（2）設(shè)y=3x+n①的特別對(duì)稱函數(shù)為y=m'x+n'， ∴=x，

∴（1+m'）x+n+n'=0， ∴m'=﹣1，n'=﹣n， ∴y=3x+n的特別對(duì)稱函數(shù)為y=﹣x﹣n②，

聯(lián)立①②解得，x=﹣n，y=﹣n，

∵y=3x+n和它的特別對(duì)稱函數(shù)的圖象與y軸圍成的三角形面積為2，

∴|n﹣（﹣n）|×|﹣n|=2， ∴n=±2；

（3）①∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c和y=x2+d為關(guān)于直線y=x的特別對(duì)稱函數(shù)，

∴， ∴（a+1）x2+（b﹣2）x+c+d=0， ∴a=﹣1，b=2，c=﹣d；

②由①知，a=﹣1，b=2，c=﹣d， ∴二次函數(shù)y=﹣x2+2x﹣d和y=x2+d，

∴這兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=1和x=0，

∵P（﹣3，1）、點(diǎn)Q（2，1），當(dāng)d＜0時(shí)，如圖1，

當(dāng)拋物線C2：y=x2+d恰好過(guò)點(diǎn)P（﹣3，1）時(shí)， 即：9+d=1，∴d=﹣8，

當(dāng)拋物線C1：y=﹣x2+2x﹣d恰好過(guò)點(diǎn)Q（2，1）時(shí)， 即：﹣4+2﹣d=1，∴d=﹣3，

y=ax2+bx+c和y=x2+d兩條拋物線與線段PQ恰好有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)d的取值范圍為﹣8≤d＜﹣3，

如圖2，當(dāng)0≤d＜時(shí)，拋物線C1與線段PQ有兩個(gè)交點(diǎn)，而拋物線C2與線段PQ沒(méi)有交點(diǎn)，

∴y=ax2+bx+c和y=x2+d兩條拋物線與線段PQ恰好有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)d的取值范圍為0≤d＜1，

即：y=ax2+bx+c和y=x2+d兩條拋物線與線段PQ恰好有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)d的取值范圍為﹣8≤d＜﹣3或0≤d＜1．