【題目】如圖,矩形ABCD中,點(diǎn)EAD邊上,過點(diǎn)EAB的平行線,交BC于點(diǎn)F,將矩形ABFE繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊CD上,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N落在邊BC上.

(1)求證:BF=NF;

(2)已知AB=2,AE=1,求EG的長(zhǎng);

(3)已知∠MEF=30°,求的值.

【答案】(1)詳見解析;(2)EG=;(3)

【解析】

(1)連結(jié)BE,EN,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知BE=EN,由∠EFB=90°,根據(jù)等腰三角形底邊的高是底邊中線即可證明BF=NF.(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明△NGF≌△HGE,進(jìn)而證明FG=GH,根據(jù)勾股定理求出GE的長(zhǎng)即可.(3)根據(jù)EF//CD可知∠MEF=DME=30°,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠EMN=90°,進(jìn)而可知∠CNM=30°,設(shè)DE=x,ME=2x,MD=x,進(jìn)而可求出CM的長(zhǎng),即可求出MN的長(zhǎng),根據(jù)BC=DE+MN即可求出BC的長(zhǎng),進(jìn)而求出答案.

(1)連結(jié)BE,EN,如圖,

四邊形ABCD是矩形,

∴∠BFE=90°,

由旋轉(zhuǎn)得BE=EN,

∴BF=NF;

(2)∵四邊形ABCD是矩形,

∴BF=AE,EF=AB,

由旋轉(zhuǎn)得EH=EA,

∵BF=NF,

∴EH=NF,

∵∠BFE=∠GHE=90°,∠NGF=∠HGE,

∴△NGF≌△HGE,

∴FG=GH,

設(shè)GE=x,則GF=GH=2﹣x,

由勾股定理得x2﹣(2﹣x)2=1,

解得x=,

∴EG=

(3)∵EF∥DC,

∴∠DME=∠MEF=30°,

設(shè)DE=x,

∵∠D=90°,

∴ME=DC=AB=2x,DM=x,

∴MC=(2﹣)x,

∵∠NME=90°,∠DME=30°,

∴∠NMC=60°,

∴∠MNC=30°,

∴MN=2MC=2(2﹣)x,

∴BC=AD=DM+MN=2(2﹣)x+x=(5﹣2)x,

=

練習(xí)冊(cè)系列答案
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用含的代數(shù)式表示的大小;

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1)根據(jù)圖示填寫下表:

平均數(shù)(分)

中位數(shù)(分)

眾數(shù)(分)

初中部

85

   

   

高中部

85

   

   

2)結(jié)合兩隊(duì)成績(jī)的平均數(shù)中中位數(shù),分析哪個(gè)隊(duì)的決賽成績(jī)較好;

3)計(jì)算兩隊(duì)決賽成績(jī)的方差,并判斷哪一個(gè)代表隊(duì)選手的成績(jī)較為穩(wěn)定.

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