Question

【題目】【探究證明】
（1）某班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組對矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究，提出下列問題，請你給出證明．
如圖1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，GH分別交AD，BC于點(diǎn)G，H．求證： = ；
【結(jié)論應(yīng)用】

（2）如圖2，在滿足（1）的條件下，又AM⊥BN，點(diǎn)M，N分別在邊BC，CD上，若 = ，則 的值為；
【聯(lián)系拓展】

（3）如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，點(diǎn)M，N分別在邊BC，AB上，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過點(diǎn)A作AP∥EF，交CD于P，過點(diǎn)B作BQ∥GH，交AD于Q，如圖1，

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．

∴四邊形AEFP、四邊形BHGQ都是平行四邊形，

∴AP=EF，GH=BQ．

又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，

∴∠QAT+∠AQT=90°．

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠D=90°，

∴∠DAP+∠DPA=90°，

∴∠AQT=∠DPA．

∴△PDA∽△QAB，

∴ = ，

∴ =

（2）
（3）

解：過點(diǎn)D作平行于AB的直線，交過點(diǎn)A平行于BC的直線于R，交BC的延長線于S，如圖3，

則四邊形ABSR是平行四邊形．

∵∠ABC=90°，∴ABSR是矩形，

∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．

∵AM⊥DN，

∴由（1）中的結(jié)論可得 = ．

設(shè)SC=x，DS=y，則AR=BS=5+x，RD=10﹣y，

∴在Rt△CSD中，x2+y2=25①，

在Rt△ARD中，（5+x）2+（10﹣y）2=100②，

由②﹣①得x=2y﹣5③，

解方程組 ，得

（舍去），或 ，

∴AR=5+x=8，

∴ = = = ．

【解析】解：（2）如圖2，
∵EF⊥GH，AM⊥BN，
∴由（1）中的結(jié)論可得 = ， = ，
∴ = = ．
故答案為 ；

（1）過點(diǎn)A作AP∥EF，交CD于P，過點(diǎn)B作BQ∥GH，交AD于Q，如圖1，易證AP=EF，GH=BQ，△PDA∽△QAB，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題；（2）只需運(yùn)用（1）中的結(jié)論，就可得到 = = ，就可解決問題；（3）過點(diǎn)D作平行于AB的直線，交過點(diǎn)A平行于BC的直線于R，交BC的延長線于S，如圖3，易證四邊形ABSR是矩形，由（1）中的結(jié)論可得 = ．設(shè)SC=x，DS=y，則AR=BS=5+x，RD=10﹣y，在Rt△CSD中根據(jù)勾股定理可得x2+y2=25①，在Rt△ARD中根據(jù)勾股定理可得（5+x）2+（10﹣y）2=100②，解①②就可求出x，即可得到AR，問題得以解決．