如果拋物線y=-x2+2(m-1)x+m+1與x軸都交于A,B兩點(diǎn),且A點(diǎn)在x軸的正半軸上,B點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上,OA的長是a,OB的長是b.
(1)求m的取值范圍;
(2)若a:b=3:1,求m的值,并寫出此時拋物線的解析式;
(3)設(shè)(2)中的拋物線與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)是M,問:拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△PAB的面積等于△BCM面積的8倍?若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(1)設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(x1,0)、(x2,0),
∵A,B兩點(diǎn)在原點(diǎn)的兩側(cè),
∴x1x2<0,即-(m+1)<0,
解得m>-1.
∵△=[2(m-1)]2-4×(-1)×(m+1)
=4m2-4m+8
=4×(m-
1
2
2+7
當(dāng)m>-1時,△>0,
∴m的取值范圍是m>-1;

(2)∵a:b=3:1,設(shè)a=3k,b=k(k>0),
則x1=3k,x2=-k,
3k-k=2(m-1)
3k•(-k)=-(m+1)
,
解得m1=2,m2=
1
3

m=
1
3
時,x1+x2=-
4
3
(不合題意,舍去),
∴m=2,
∴拋物線的解析式是y=-x2+2x+3;

(3)易求拋物線y=-x2+2x+3與x軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)是A(3,0),B(-1,0)
與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是C(0,3),頂點(diǎn)坐標(biāo)是M(1,4).
設(shè)直線BM的解析式為y=px+q,
4=p•1+q
0=p•(-1)+q

解得
p=2
q=2

∴直線BM的解析式是y=2x+2.

設(shè)直線BM與y軸交于N,則N點(diǎn)坐標(biāo)是(0,2),

∴S△BCM=S△BCN+S△MNC
=
1
2
×1×1+
1
2
×1×1
=1
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是(x,y),
∵S△ABP=8S△BCM,
1
2
×AB×|y|=8×1.
1
2
×4×|y|=8.
∴|y|=4.
∴y=±4.
當(dāng)y=4時,P點(diǎn)與M點(diǎn)重合,即P(1,4),
當(dāng)y=-4時,-4=-x2+2x+3,
解得x=1±2
2

∴滿足條件的P點(diǎn)存在.
P點(diǎn)坐標(biāo)是(1,4),(1+2
2
,-4)(1-2
2
,-4).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在△ABC中,AB=AC=5,以AB為直徑的⊙P交BC于H.點(diǎn)A,B在x軸上,點(diǎn)H在y軸上,B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0).
(1)求點(diǎn)A,H,C的坐標(biāo);
(2)過H點(diǎn)作AC的垂線交AC于E,交x軸于F,求證:EF是⊙P的切線;
(3)求經(jīng)過A,O兩點(diǎn)且頂點(diǎn)到x軸的距離等于4的拋物線解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,一元二次方程x2+2x-3=0的兩根x1,x2(x1<x2)是拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個交點(diǎn)C,B的橫坐標(biāo),且此拋物線過點(diǎn)A(3,6).
(1)求此二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)此拋物線的頂點(diǎn)為P,對稱軸與線段AC相交于點(diǎn)G,則P點(diǎn)坐標(biāo)為______,G點(diǎn)坐標(biāo)為______;
(3)在x軸上有一動點(diǎn)M,當(dāng)MG+MA取得最小值時,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖1,拋物線y=-
1
4
x2+
1
4
x+3
與直線y=-
1
4
x-
3
4
交于A、B兩點(diǎn).如圖2,質(zhì)地均勻的正四面體骰子的各個面上依次標(biāo)有數(shù)字-1、1、3、4.隨機(jī)拋擲這枚骰子兩次,把第一次著地一面的數(shù)字m記做P點(diǎn)的橫坐標(biāo),第二次著地一面的數(shù)字n記做P點(diǎn)的縱坐標(biāo),則點(diǎn)P(m,n)落在如圖1中的拋物線與直線圍成區(qū)域內(nèi)(圖中陰影部分,含邊界)的概率是______.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

某幢建筑物,從10米高的窗口A用水管和向外噴水,噴的水流呈拋物線(拋物線所在平面與墻面垂直),(如圖)如果拋物線的最高點(diǎn)M離墻1米,離地面
40
3
米,則水流下落點(diǎn)B離墻距離OB是( 。
A.2米B.3米C.4米D.5米

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知拋物線與x交于A(-1,0)、E(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)B(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)設(shè)拋物線頂點(diǎn)為D,求四邊形AEDB的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

今年我國多個省市遭受嚴(yán)重干旱,受旱災(zāi)的影響,4月份,我市某蔬菜價(jià)格呈上升趨勢,其前四周每周的平均銷售價(jià)格變化如下表:
周數(shù)x1234
價(jià)格y(元/kg)22.22.42.6
進(jìn)入5月,由于本地蔬菜的上市,此種蔬菜的平均銷售價(jià)格y(元/千克)從5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克,且y與周數(shù)x的變化情況滿足二次函數(shù)y=-
1
20
x2+bx+c.
(1)請觀察題中的表格,用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識直接寫出4月份y與x的函數(shù)關(guān)系式,并求出5月份y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若4月份此種蔬菜的進(jìn)價(jià)m(元/千克)與周數(shù)x所滿足的函數(shù)關(guān)系為m=
1
4
x+1.2,5月份此種蔬菜的進(jìn)價(jià)m(元/千克)與周數(shù)x所滿足的函數(shù)關(guān)系為m=-
1
5
x+2.試問4月份與5月份分別在哪一周銷售此種蔬菜一千克的利潤最大?且最大利潤分別是多少?
(3)若5月份的第2周共銷售100噸此種蔬菜.從5月份的第3周起,由于受暴雨的影響,此種蔬菜的可供銷量將在第2周銷量的基礎(chǔ)上每周減少a%,政府為穩(wěn)定蔬菜價(jià)格,從外地調(diào)運(yùn)2噸此種蔬菜,剛好滿足本地市民的需要,且使此種蔬菜的銷售價(jià)格比第2周僅上漲0.8a%.若在這一舉措下,此種蔬菜在第3周的總銷售額與第2周剛好持平,請你參考以下數(shù)據(jù),通過計(jì)算估算出a的整數(shù)值.
(參考數(shù)據(jù):372=1369,382=1444,392=1521,402=1600,412=1681)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在△ABC中∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm∕s的速度移動,點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動.如果P,Q分別從A,B同時出發(fā),經(jīng)幾秒鐘,使△PBQ的面積等于8cm2?在移動過程中,△PBQ的最大面積是多少?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

某商店購進(jìn)一批單價(jià)為8元的商品,如果按每件10元出,那么每天可銷售100件,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),這種商品的銷售單價(jià)每提高1元,其銷售量相應(yīng)減少10件.將銷售價(jià)定為多少,才能使每天所獲銷售利潤最大?最大利潤是多少?

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同步練習(xí)冊答案