Question

【題目】二次函數y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣5的圖象與x軸有兩個公共點．

（1）求m的取值范圍；

（2）若m取滿足條件的最小的整數，當n≤x≤1時，函數值y的取值范圍是﹣6≤y≤24，求n的值．

Answer 1

【答案】（1）m＞﹣且m≠0；（2）n的值為﹣4．

【解析】

（1）由拋物線與x軸有兩個交點，可得出關于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣5＝0有兩個不相等的實數根，利用根的判別式△＞0結合二次項系數非零，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍；

（2）�。�1）中m的最小整數，代入y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣5中即可求得解析式，進而求得拋物線的對稱軸為x＝，根據二次函數的性質結合“當n≤x≤1時，函數值y的取值范圍是﹣6≤y≤24，即可得出關于n的一元一次不等式，解之即可得出n的值．

解：（1）∵二次函數y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣5的圖象與x軸有兩個公共點，

∴關于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣5＝0有兩個不相等的實數根，

∴，

解得：m＞﹣且m≠0．

（2）∵m＞﹣且m≠0，m取其內的最小整數，

∴m＝1，

∴二次函數的解析式為y＝x2﹣3x﹣4．

∴拋物線的對稱軸為x＝﹣＝

∵a＝1＞0，

∴當x≤時，y隨x的增大而減小．

又∵n≤x≤1時，函數值y的取值范圍是﹣6≤y≤24，

∴n2﹣3n﹣4＝24，解得：n＝﹣4或n＝7（舍去），

故n的值為：﹣4．