【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,半徑OC⊥AB,OB=4,D是OB的中點,點E是弧BC上的動點,連接AE,DE.
(1)當點E是弧BC的中點時,求△ADE的面積;
(2)若 ,求AE的長;
(3)點F是半徑OC上一動點,設點E到直線OC的距離為m,當△DEF是等腰直角三角形時,求m的值.
【答案】(1);(2);(3) ,,.
【解析】
(1)作EH⊥AB,連接OE,EB,設DH=a,則HB=2﹣a,OH=2+a,則EH=OH=2+a,根據(jù)Rt△AEB中,EH2=AHBH,即可求出a的值,即可求出S△ADE的值;
(2)作DF⊥AE,垂足為F,連接BE,設EF=2x,DF=3x,根據(jù)DF∥BE故,得出AF=6x,再利用Rt△AFD中,AF2+DF2=AD2,即可求出x,進而求出AE的長;
(3)根據(jù)等腰直角三角形的不同頂點進行分類討論,分別求出m的值.
解:(1)如圖,作EH⊥AB,連接OE,EB,
設DH=a,則HB=2﹣a,OH=2+a,
∵點E是弧BC中點,
∴∠COE=∠EOH=45°,
∴EH=OH=2+a,
在Rt△AEB中,EH2=AHBH,
(2+a)2=(6+a)(2﹣a),
解得a=,
∴a=,
EH=,
S△ADE=;
(2)如圖,作DF⊥AE,垂足為F,連接BE
設EF=2x,DF=3x
∵DF∥BE
∴
∴=3
∴AF=6x
在Rt△AFD中,AF2+DF2=AD2
(6x)2+(3x)2=(6)2
解得x=
AE
(3)當點D為等腰直角三角形直角頂點時,如圖
設DH=a
由DF=DE,∠DOF=∠EHD=90°,∠FDO+∠DFO=∠FDO+∠EDH,
∴∠DFO=∠EDH
∴△ODF≌△HED
∴OD=EH=2
在Rt△ABE中,EH2=AHBH
(2)2=(6+a)(2﹣a)
解得a=±
m=
當點E為等腰直角三角形直角頂點時,如圖
同理得△EFG≌△DEH
設DH=a,則GE=a,EH=FG=2+a
在Rt△ABE中,EH2=AHBH
(2+a)2=(6+a)(2﹣a)
解得a=
∴m=
當點F為等腰直角三角形直角頂點時,如圖
同理得△EFM≌△FDO
設OF=a,則ME=a,MF=OD=2
∴EH=a+2
在Rt△ABE中,EH2=AHBH
(a+2)2=(4+a)(4﹣a)
解得a=±
m=
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【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,CE是外角平分線,點D在AC上,連結BD并延長與CE交于點E.
(1)求證:△ABD∽△CED.
(2)若AB=6,AD=2CD,求BE的長.
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【題目】如圖,平行四邊形ABCD放置在平面直角坐標系xOy中,已知A(-2,0),B(2,0),D(0,3),反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過點C.
(1)求此反比例函數(shù)的解析式;
(2)問將平行四邊形ABCD向上平移多少個單位,能使點B落在雙曲線上?
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【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的一個交點坐標是(3,0),對稱軸為直線x=1,下列結論:①abc>0;②2a+b=0;③4a﹣2b+c>0;④當y>0時,﹣1<x<3;⑤b<c.其中正確的個數(shù)是( 。
A.2B.3C.4D.5
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【題目】已知,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,點D為BC的中點.
(1)如圖①,若點E、F分別為AB、AC上的點,且DE⊥DF,求證:BE=AF;
(2)若點E、F分別為AB、CA延長線上的點,且DE⊥DF,那么BE=AF嗎?請利用圖②說明理由.
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【題目】2019年,我省中考體育分值增加到55分,其中女生必考項目為八百米跑,我,F(xiàn)抽取九年級部分女生進行八百米測試成績如下:
成績 | 3′40″及以下 | 3′41~4′ | 4′01″~4′20′ | 4′21″~4′40″ | 4′41″及以上 |
等級 | A | B | C | D | E |
百分比 | 10% | 25% | m | 20% | n |
(1)求樣本容量及表格中的m和n的值
(2)求扇形統(tǒng)計圖中A等級所對的圓心角度數(shù),并補全統(tǒng)計圖.
(3)我校9年級共有女生500人.若女生八百米成績的達標成績?yōu)?/span>4分,我校九年級女生八百米成績達標的人數(shù)有多少?
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【題目】如圖1,在△ABC中,點P為邊AB所在直線上一點,連結CP,M為線段CP的中點,若滿足∠ACP=∠MBA,則稱點P為△ABC的“好點”.
(1)如圖2,當∠ABC=90°時,命題“線段AB上不存在“好點”為 (填“真”或“假”)命題,并說明理由;
(2)如圖3,P是△ABC的BA延長線的一個 “好點”,若PC=4,PB=5,求AP的值;
(3)如圖4,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,點P是△ABC的“好點”,若AC=4,AB=5,求AP的值.
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【題目】(本小題滿分10分)如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC的垂直平分線分別與AC,BC及AB的延長線相交于點D,E,F,且BF=BC.⊙O是△BEF的外接圓,∠EBF的平分線交EF于點G,交于點H,連接BD、FH.
(1)求證:△ABC≌△EBF;
(2)試判斷BD與⊙O的位置關系,并說明理由;
(3)若AB=1,求HGHB的值.
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