【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AB為⊙O的直徑,過(guò)點(diǎn)C作∠BCD=∠CAB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)O作直徑EF∥BC,交AC于點(diǎn)G.
(1)求證:CD是⊙O的切線.
(2)若⊙O的半徑為2,∠BCD=30°.
①連接AE、DE,求證:四邊形ACDE是菱形.
②當(dāng)點(diǎn)P是線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)時(shí),求PF+PG的最小值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)①見(jiàn)解析,②PF+PG的最小值為.
【解析】
(1)連接OC,由AB是直徑可得∠ACB=90°,由OC=OB可得∠ABC=∠OCB,由銳角互余的關(guān)系可得,即可得答案;(2)①連線AE、ED、BE,由∠BCD=30°,可得∠OCB=60°,進(jìn)而可得∠OBC=60°,根據(jù)外角性質(zhì)可得∠CDA=30°,即可證明∠CDA=∠CAD,可得AC=DC,由平行線性質(zhì)可得,進(jìn)而可得,即可證明ΔOCB,ΔOEB是等邊三角形,易證明,,可得AC=CD=AE=ED即可得答案;②作F關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)H,H在⊙O上,連接GH交AB于P點(diǎn),此時(shí)線段GH最短,則PF+PG最小,連接OH,過(guò)H作HI⊥EF,可求出,,在Rt△AGO中,利用三角函數(shù)可求出OG的長(zhǎng),在Rt△HIO中可求出OI、HI的長(zhǎng),利用勾股定理求出GH的長(zhǎng)即可.
(1)連接OC,
∵OC=OB,
∴,
∵AB是⊙O的直徑,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴OC⊥CD,
∴CD是⊙O切線.
(2)①連線AE、ED、BE,
∵
∴
∴
∴AC=DC
∵EF∥BC
∴
∴
∵OE=OB=BE
∴ΔOCB,ΔOEB是等邊三角形
∵BC=OB=BE
∴易證,
∴AC=CD=AE=ED
∴四邊形ACDE是菱形,
②作F關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)H,H在⊙O上,連接GH交AB于P點(diǎn),此時(shí)線段GH最短,則PF+PG最小,連接OH,過(guò)H作HI⊥EF
由①已證
又∵F于H關(guān)于直線AB對(duì)稱
∴
∴,
在RtΔAGO中,OA=2
∴
在RtΔHIO中,OH=2
∴,
∴
∴PF+PG的最小值為
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校為了了解全校400名學(xué)生參加課外鍛煉的情況,隨機(jī)對(duì)40名學(xué)生一周內(nèi)平均每天參加課外鍛煉的時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查,結(jié)果如下:(單位:分)
40 21 35 24 40 38 23 52 35 62
36 15 51 45 40 42 40 32 43 36
34 53 38 40 39 32 45 40 50 45
40 40 26 45 40 45 35 40 42 45
(1)補(bǔ)全頻率分布表和頻率分布直方圖.
(2)填空:在這個(gè)問(wèn)題中,總體是_____,樣本是_____.由統(tǒng)計(jì)結(jié)果分析的,這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是38.35(分),眾數(shù)是_____,中位數(shù)是______.
(3)如果描述該校400名學(xué)生一周內(nèi)平均每天參加課外鍛煉時(shí)間的總體情況,你認(rèn)為用平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)中的哪一個(gè)量比較合適?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-2,1),B(-1,4),C(-3,2).
(1)畫(huà)出△ABC關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱的圖形△A1BC1;
(2)以原點(diǎn)O為位似中心,相似比為1∶2,在y軸的左側(cè),畫(huà)出△ABC放大后的圖形△A2B2C2,并直接寫(xiě)出點(diǎn)C2的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某區(qū)域?yàn)轫憫?yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號(hào)召,加強(qiáng)了綠化建設(shè).為了解該區(qū)域群眾對(duì)綠化建設(shè)的滿意程度,某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組在該區(qū)域的甲、乙兩個(gè)片區(qū)進(jìn)行了調(diào)查,得到如下不完整統(tǒng)計(jì)圖.
請(qǐng)結(jié)合圖中信息,解決下列問(wèn)題:
(1)此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù)為多少人,其中“非常滿意”的人數(shù)為多少人;
(2)興趣小組準(zhǔn)備從“不滿意”的4位群眾中隨機(jī)選擇2位進(jìn)行回訪,已知這4位群眾中有2位來(lái)自甲片區(qū),另2位來(lái)自乙片區(qū),請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法求出選擇的群眾來(lái)自甲片區(qū)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,∠A=45°,∠B=120°,AB=5,BC=10,則CD的長(zhǎng)為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為慶祝即將到來(lái)的“三月三”壯族傳統(tǒng)節(jié)日,某校舉行了書(shū)法比賽,賽后隨機(jī)抽查部分參賽同學(xué)的成績(jī),并制作成如下圖表:
請(qǐng)根據(jù)如上圖表提供的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)這次隨機(jī)抽查了 名學(xué)生,表中的數(shù) . .
(2)請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)若繪制扇形統(tǒng)計(jì)圖,分?jǐn)?shù)段所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為 度;
(4)全校共有名學(xué)生參加比賽,估計(jì)該校成績(jī)范圍內(nèi)的學(xué)生有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若數(shù)a使關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù),使關(guān)于y的不等式組無(wú)解,則所有滿足條件的整數(shù)a的值之積是( 。
A. 360 B. 90 C. 60 D. 15
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(0,3),B(1,0),連接BA,將線段BA繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BC,反比例函數(shù)y=的圖象G經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.
(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)及k的值;
(2)若點(diǎn)P在圖象G上,且∠POB=∠BAO,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,若Q(0,m)為y軸正半軸上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Q作x軸的平行線與圖象G交于點(diǎn)M,與直線OP交于點(diǎn)N,若點(diǎn)M在點(diǎn)N左側(cè),結(jié)合圖象,直接寫(xiě)出m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,頂點(diǎn)A,C分別在坐標(biāo)軸上,B(4,2),過(guò)點(diǎn)D(0,3)和E(6,0)的直線分別與AB,BC交于點(diǎn)M,N.
(1)直接寫(xiě)出直線DE的解析式_________;
(2)若反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象與直線MN有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求m的值.
(3)在分別過(guò)M,B的雙曲線y=(x>0)上是否分別存在點(diǎn)F,G使得B,M,F,G構(gòu)成平行四邊形,若存在則求出F點(diǎn)坐標(biāo), 若不存在則說(shuō)明理由.
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