【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c的頂點為M(﹣2,﹣4),與x軸交于A、B兩點,且A(﹣6,0),與y軸交于點C.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)求△ABC的面積;
(3)能否在拋物線第三象限的圖象上找到一點P,使△APC的面積最大?若能,請求出點P的坐標(biāo);若不能,請說明理由.
【答案】(1)y=x2+x﹣3;(2)12;(3)當(dāng)x=﹣3時,S△APC有最大值,此時點P的坐標(biāo)是P(﹣3,﹣).
【解析】試題分析:(1)根據(jù)頂點坐標(biāo)公式即可求得a、b、c的值,即可解題;(2)易求得點B、C的坐標(biāo),即可求得OC的長,即可求得△ABC的面積,即可解題;(3)作PE⊥x軸于點E,交AC于點F,可將△APC的面積轉(zhuǎn)化為△AFP和△CFP的面積之和,而這兩個三角形有共同的底PF,這一個底上的高的和又恰好是A、C兩點間的距離,因此若設(shè)設(shè)E(x,0),則可用x來表示△APC的面積,得到關(guān)于x的一個二次函數(shù),求得該二次函數(shù)最大值,即可解題.
試題解析:(1)設(shè)此函數(shù)的解析式為y=a(x+h)2+k,
∵函數(shù)圖象頂點為M(﹣2,﹣4),
∴y=a(x+2)2﹣4,
又∵函數(shù)圖象經(jīng)過點A(﹣6,0),
∴0=a(﹣6+2)2﹣4解得a=,
∴此函數(shù)的解析式為y=(x+2)2﹣4,
即y=x2+x﹣3;
(2)∵點C是函數(shù)y=x2+x﹣3的圖象與y軸的交點,
∴點C的坐標(biāo)是(0,﹣3),
又當(dāng)y=0時,有y=x2+x﹣3=0,
解得x1=﹣6,x2=2,
∴點B的坐標(biāo)是(2,0),
則S△ABC=|AB||OC|=×8×3=12;
(3)假設(shè)存在這樣的點,過點P作PE⊥x軸于點E,交AC于點F.
設(shè)E(x,0),則P(x, x2+x﹣3),
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,
∵直線AC過點A(﹣6,0),C(0,﹣3),
∴,解得,
∴直線AC的解析式為y=﹣x﹣3,
∴點F的坐標(biāo)為Fx,﹣ x﹣3),
則|PF|=﹣x﹣3﹣(x2+x﹣3)=﹣x2﹣x,
∴S△APC=S△APF+S△CPF=|PF||AE|+|PF||OE|
=|PF||OA|=(﹣x2﹣x)×6=﹣x2﹣x=﹣(x+3)2+,
∴當(dāng)x=﹣3時,S△APC有最大值,此時點P的坐標(biāo)是P(﹣3,﹣).
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【題目】如圖,這是一個計算程序示意圖.
規(guī)定:從“輸入x”到“加上5”為一次運算.
例如:輸入“x=3”,則“,6+5=11.”(完成一次運算)
因為,所以輸出結(jié)果y=11.
(1)當(dāng)x=2時,y= ;當(dāng)x=-3時,y= .
(2)若程序進行了一次運算,輸出結(jié)果y=7,則輸入的x值為 .
(3)若輸入x后,需要經(jīng)過兩次運算才輸出結(jié)果y,求x的取值范圍.
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【題目】食品安全關(guān)乎民生,食品中添加過量的添加劑對人體有害,但適量的添加劑對人體無害且有利于食品的儲存.某飲料廠為了解A、B兩種飲料添加劑的添加情況,隨機抽檢了A種30瓶,B種70瓶,檢測發(fā)現(xiàn),A種每瓶比B種每瓶少1克添加劑,兩種共加入了添加劑270克,求A、B兩種飲料每瓶各加入添加劑多少克?
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【題目】如圖所示,直線l:y=x+1交y軸于點A1,在x軸正方向上取點B1,使OB1=OA1;過點B1作A2B1⊥x軸,交l于點A2,在x軸正方向上取點B2,使B1B2=B1A2;過點B2作A3B2⊥x軸,交l于點A3,…記△OA1B1面積為S1,△B1A2B2面積為S2,△B2A3B3面積為S3,…,則S8等于( 。
A.28B.213C.216D.218
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【題目】如圖,將繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)至,使得C點落在AB的延長線上的D點處,的邊BC恰好是的角平分線.
(1)試求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù);
(2)設(shè)BE與AC的交點為點P,求證:.
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【題目】如圖,正方形ABCD中,E為BC上一點,BE=2CE,連接DE,F為DE中點,以DF為直角邊作等腰Rt△DFG,連接BG,將△DFG繞點D順時針旋轉(zhuǎn)得△DF′G′,G′恰好落在BG的延長線上,連接F′G,若BG=2,則S△GF′G′=________.
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【題目】如圖,AB∥CD,以點A為圓心,小于AC長為半徑作圓弧,分別交AB,AC于E,F兩點,再分別以E,F為圓心,大于EF長為半徑作圓弧,兩條圓弧交于點P,作射線AP,交CD于點M,
(1)由題意可知,射線AP是 ;
(2)若∠CMA=33°,求∠CAB的度數(shù);
(3)若CN⊥AM,垂直為N,試說明:AN=MN.
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【題目】二次函數(shù)y=x2+(2m+1)x+(m2﹣1)有最小值﹣2,則m=________.
【答案】
【解析】試題解析:∵二次函數(shù)有最小值﹣2,
∴y=﹣,
解得:m=.
【題型】填空題
【結(jié)束】
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【題目】如圖,已知△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別是A(-2,3),B(-3,-1),C(-1,1)
(1)畫出△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A1B1C1,并寫出點A1的坐標(biāo);
(2)畫出△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)180°后的△A2B2C2,并寫出點A2的坐標(biāo);
(3)直接回答:∠AOB與∠A2OB2有什么關(guān)系?
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