【題目】已知E,F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊BC,CD上的點(diǎn),AF,DE相交于點(diǎn)G,當(dāng)E,F(xiàn)分別為邊BC,CD的中點(diǎn)時,有:①AF=DE;②AF⊥DE成立.
試探究下列問題:
(1)如圖1,若點(diǎn)E不是邊BC的中點(diǎn),F(xiàn)不是邊CD的中點(diǎn),且CE=DF,上述結(jié)論①,②是否仍然成立?(請直接回答“成立”或“不成立”),不需要證明)
(2)如圖2,若點(diǎn)E,F(xiàn)分別在CB的延長線和DC的延長線上,且CE=DF,此時,上述結(jié)論①,②是否仍然成立?若成立,請寫出證明過程,若不成立,請說明理由;
(3)如圖3,在(2)的基礎(chǔ)上,連接AE和EF,若點(diǎn)M,N,P,Q分別為AE,EF,F(xiàn)D,AD的中點(diǎn),請判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一種,并證明你的結(jié)論.
【答案】解:(1)上述結(jié)論①,②仍然成立,
理由為:∵四邊形ABCD為正方形,
∴AD=DC,∠BCD=∠ADC=90°,
在△ADF和△DCE中,
,
∴△ADF≌△DCE(SAS),
∴AF=DE,∠DAF=∠CDE,
∵∠ADG+∠EDC=90°,
∴∠ADG+∠DAF=90°,
∴∠AGD=90°,即AF⊥DE;
(2)上述結(jié)論①,②仍然成立,
理由為:∵四邊形ABCD為正方形,
∴AD=DC,∠BCD=∠ADC=90°,
在△ADF和△DCE中,
,
∴△ADF≌△DCE(SAS),
∴AF=DE,∠CDE=∠DAF,
∵∠ADG+∠EDC=90°,
∴∠ADG+∠DAF=90°,
∴∠AGD=90°,即AF⊥DE;
(3)四邊形MNPQ是正方形.
理由為:如圖,設(shè)MQ,DE分別交AF于點(diǎn)G,O,PQ交DE于點(diǎn)H,
∵點(diǎn)M,N,P,Q分別為AE,EF,F(xiàn)D,AD的中點(diǎn),
∴MQ=PN=DE,PQ=MN=AF,MQ∥DE,PQ∥AF,
∴四邊形OHQG是平行四邊形,
∵AF=DE,
∴MQ=PQ=PN=MN,
∴四邊形MNPQ是菱形,
∵AF⊥DE,
∴∠AOD=90°,
∴∠HQG=∠AOD=90°,
∴四邊形MNPQ是正方形.
【解析】(1)由四邊形ABCD為正方形,CE=DF,易證得△ADF≌△DCE(SAS),即可證得AF=DE,∠DAF=∠CDE,又由∠ADG+∠EDC=90°,即可證得AF⊥DE;
(2)由四邊形ABCD為正方形,CE=DF,易證得△ADF≌△DCE(SAS),即可證得AF=DE,∠E=∠F,又由∠ADG+∠EDC=90°,即可證得AF⊥DE;
(3)首先設(shè)MQ,DE分別交AF于點(diǎn)G,O,PQ交DE于點(diǎn)H,由點(diǎn)M,N,P,Q分別為AE,EF,F(xiàn)D,AD的中點(diǎn),即可得MQ=PN=DE,PQ=MN=AF,MQ∥DE,PQ∥AF,然后由AF=DE,可證得四邊形MNPQ是菱形,又由AF⊥DE即可證得四邊形MNPQ是正方形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(﹣3,5),B(﹣2,1),C(﹣1,3).
(1)若△ABC經(jīng)過平移后得到△A1B1C1,已知點(diǎn)C1的坐標(biāo)為(4,0),寫出頂點(diǎn)A1,B1的坐標(biāo);
(2)若△ABC和△A2B2C2關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱圖形,寫出△A2B2C2的各頂點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)將△ABC繞著點(diǎn)O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△A3B3C3,寫出△A3B3C3的各頂點(diǎn)的坐標(biāo).
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【題目】觀察下列單項(xiàng)式的規(guī)律:﹣a,2a2 , ﹣3a3 , 4a4 , …第2016個單項(xiàng)式為 , 第n個單項(xiàng)式為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(﹣3,0),B(9,0)和C(0,4).CD垂直于y軸,交拋物線于點(diǎn)D,DE垂直與x軸,垂足為E,l是拋物線的對稱軸,點(diǎn)F是拋物線的頂點(diǎn).
(1)求出二次函數(shù)的表達(dá)式以及點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)若Rt△AOC沿x軸向右平移到其直角邊OC與對稱軸l重合,再沿對稱軸l向上平移到點(diǎn)C與點(diǎn)F重合,得到Rt△A1O1F,求此時Rt△A1O1F與矩形OCDE重疊部分的圖形的面積;
(3)若Rt△AOC沿x軸向右平移t個單位長度(0<t≤6)得到Rt△A2O2C2,Rt△A2O2C2與Rt△OED重疊部分的圖形面積記為S,求S與t之間的函數(shù)表達(dá)式,并寫出自變量t的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,以正方形ABCD的對角線AC為一邊作菱形AEFC,則∠FAB=( 。
A.30°
B.45°
C.22.5°
D.135°
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【題目】如圖,矩形紙片ABCD中,AB=6cm,AD=10cm,點(diǎn)E、F在矩形ABCD的邊AB、AD上運(yùn)動,將△AEF沿EF折疊,使點(diǎn)A′在BC邊上,當(dāng)折痕EF移動時,點(diǎn)A′在BC邊上也隨之移動.則A′C的取值范圍為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的方程x2﹣2x﹣m=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍為( )
A.m<0
B.m<﹣2
C.m≥0
D.m>﹣1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下表記錄了某種幼樹在一定條件下移植成活情況
移植總數(shù)n | 400 | 1500 | 3500 | 7000 | 9000 | 14000 |
成活數(shù)m | 325 | 1336 | 3203 | 6335 | 8073 | 12628 |
成活的頻率(精確到0.01) | 0.813 | 0.891 | 0.915 | 0.905 | 0.897 | 0.902 |
由此估計(jì)這種幼樹在此條件下移植成活的概率約是_____(精確到0.1).
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