Question

在直角坐標(biāo)系中，點A是拋物線y=x²在第二象限上的點，連接OA，過點O作OB⊥OA，交拋物線于點B，以O(shè)A、OB為邊構(gòu)造矩形AOBC．

（1）如圖1，當(dāng)點A的橫坐標(biāo)為______時，矩形AOBC是正方形；
（2）如圖2，當(dāng)點A的橫坐標(biāo)為時，
①求點B的坐標(biāo)；
②將拋物線y=x²作關(guān)于x軸的軸對稱變換得到拋物線y=-x²，試判斷拋物線y=-x²經(jīng)過平移交換后，能否經(jīng)過A，B，C三點？如果可以，說出變換的過程；如果不可以，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點A作AD⊥x軸于點D，根據(jù)正方形的對角線平分一組對角可得∠AOC=45°，所以∠AOD=45°，從而得到△AOD是等腰直角三角形，設(shè)點A坐標(biāo)為（-a，a），然后利用點A在拋物線上，把點的坐標(biāo)代入解析式計算即可得解；
（2）①過點A作AE⊥x軸于點E，過點B作BF⊥x軸于點F，先利用拋物線解析式求出AE的長度，然后證明△AEO和△OFB相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出OF與BF的關(guān)系，然后利用點B在拋物線上，設(shè)出點B的坐標(biāo)代入拋物線解析式計算即可得解；
②過點C作CG⊥BF于點G，可以證明△AEO和△BGC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CG=OE，BG=AE，然后求出點C的坐標(biāo)，再根據(jù)對稱變換以及平移變換不改變拋物線的形狀利用待定系數(shù)法求出過點A、B的拋物線解析式，把點C的坐標(biāo)代入所求解析式進行驗證變換后的解析式是否經(jīng)過點C，如果經(jīng)過點C，把拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點式解析式，根據(jù)頂點坐標(biāo)寫出變換過程即可．
解答：解：（1）如圖，過點A作AD⊥x軸于點D，
∵矩形AOBC是正方形，
∴∠AOC=45°，
∴∠AOD=90°-45°=45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
設(shè)點A的坐標(biāo)為（-a，a）（a≠0），
則（-a）²=a，
解得a₁=1，a₂=0（舍去），
∴點A的橫坐標(biāo)-a=-1，
故答案為：-1；

（2）①過點A作AE⊥x軸于點E，過點B作BF⊥x軸于點F，
當(dāng)x=-時，y=（-）²=，
即OE=，AE=，
∵∠AOE+∠BOF=180°-90°=90°，
∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠EAO=∠BOF，
又∵∠AEO=∠BFO=90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴===，
設(shè)OF=t，則BF=2t，
∴t²=2t，
解得：t₁=0（舍去），t₂=2，
∴點B（2，4）；

②過點C作CG⊥FB的延長線于點G，
∵∠AOE+∠EAO=90°，∠FBO+∠CBG=90°，∠AOE=∠FBO，
∴∠EAO=∠CBG，
在△AEO和△BGC中，，
∴△AEO≌△BGC（AAS），
∴CG=OE=，BG=AE=．
∴x_c=2-=，y_c=4+=，
∴點C（，），
設(shè)過A（-，）、B（2，4）兩點的拋物線解析式為y=-x²+bx+c，由題意得，，
解得，
∴經(jīng)過A、B兩點的拋物線解析式為y=-x²+3x+2，
當(dāng)x=時，y=-（）²+3×+2=，所以點C也在此拋物線上，
故經(jīng)過A、B、C三點的拋物線解析式為y=-x²+3x+2=-（x-）²+．
平移方案：先將拋物線y=-x²向右平移個單位，再向上平移個單位得到拋物線y=-（x-）²+．
點評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，包括正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求拋物線解析式，綜合性較強，難度較大，要注意利用點的對稱、平移變換來解釋拋物線的對稱平移變換，利用點研究線也是常用的方法之一．