Question

如圖，已知直線AB的解析式y(tǒng)=mx+n，它與x軸交于點(diǎn)C，與雙曲線y=

k

x

交于A（3，

20

3

）、B（-5，a）兩點(diǎn)．AD⊥x軸于點(diǎn)D，BE∥x軸且與y軸交于點(diǎn)E．
（1）求反比例函數(shù)的解析式及直線AB的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象可知，當(dāng)mx+n-

k

x

＞0時(shí)，x的取值范圍是

-5＜x＜0或x＞3

；
（3）判斷四邊形CBED的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用雙曲線y=

k

x

過(guò)A（3，

20

3

），直接求出k即可，利用B的值代入反比例函數(shù)解析式得出a，進(jìn)而求出一次函數(shù)的解析式；
（2）利用函數(shù)圖象得出一次函數(shù)大于反比例函數(shù)時(shí)x的取值范圍；
（3）利用CD=5，BE=5，且BE∥CD，得出四邊形CBED是平行四邊形，再利用ED=CD，得出平行四邊形CBED是菱形．

解答：解：（1）∵雙曲線y=

k

x

過(guò)A（3，

20

3

），
∴k=20．
把B（-5，a）代入y=

20

x

，得a=-4．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-5，-4）．
將 A（3，

20

3

）、B（-5，-4）代入y=mx+n，得，

20 3 =3m+n -4=-5m+n

，
解得：m=

4

3

，n=

8

3

．
∴直線AB的解析式為：y=

4

3

x+

8

3

．

（2）當(dāng)mx+n-

k

x

＞0時(shí)，
即y=mx+n大于反比例函數(shù)y=-

k

x

時(shí)，x的取值范圍，
利用圖象可得：-5＜x＜0或x＞3時(shí)，mx+n-

k

x

＞0；

（3）四邊形CBED是菱形．理由如下：
點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-2，0）．
∵BE∥x軸，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0，-4）．
而CD=5，BE=5，且BE∥CD．
∴四邊形CBED是平行四邊形．
在Rt△OED中，ED²=OE²+OD²，
∴ED=

32+42

=5，
∴ED=CD．
∴平行四邊形CBED是菱形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)與反比例的解析式以及菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合比較得出函數(shù)值大小以及結(jié)合菱形判定得出是解題關(guān)鍵．