【題目】若拋物線L:y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),abc≠0)與直線l都經(jīng)過(guò)y軸上的一點(diǎn)P,且拋物線L的頂點(diǎn)Q在直線l上,則稱(chēng)此直線l與該拋物線L具有“一帶一路”關(guān)系.此時(shí),直線l叫做拋物線L的“帶線”,拋物線L叫做直線l的“路線”.
(1)若直線y=mx+1與拋物線y=x2﹣2x+n具有“一帶一路”關(guān)系,求m,n的值;
(2)若某“路線”L的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)y=的圖象上,它的“帶線”l的解析式為y=2x﹣4,求此“路線”L的解析式;
(3)當(dāng)常數(shù)k滿足≤k≤2時(shí),求拋物線L:y=ax2+(3k2﹣2k+1)x+k的“帶線”l與x軸,y軸所圍成的三角形面積的取值范圍.
【答案】(1)m的值為﹣1,n的值為1.(2)y=2(x+1)2﹣6或y=﹣(x﹣3)2+2.(3)≤S≤.
【解析】
試題分析:(1)確定直線y=mx+1與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo),將其代入拋物線解析式中即可求出n的值;再根據(jù)拋物線的解析式找出頂點(diǎn)坐標(biāo),將其代入直線解析式中即可得出結(jié)論;(2)確定直線與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo),由此設(shè)出拋物線的解析式,再由直線的解析式找出直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),將其代入拋物線解析式中即可得出結(jié)論;(3)由拋物線解析式找出拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)拋物線的解析式找出其頂點(diǎn)坐標(biāo),由兩點(diǎn)坐標(biāo)結(jié)合待定系數(shù)法即可得出與該拋物線對(duì)應(yīng)的“帶線”l的解析式,找出該直線與x、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合三角形的面積找出面積S關(guān)于k的關(guān)系上,由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論.
試題解析:(1)令直線y=mx+1中x=0,則y=1,
即直線與y軸的交點(diǎn)為(0,1);
將(0,1)代入拋物線y=x2﹣2x+n中,
得n=1.
∵拋物線的解析式為y=x2﹣2x+1=(x﹣1)2,
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).
將點(diǎn)(1,0)代入到直線y=mx+1中,
得:0=m+1,解得:m=﹣1.
答:m的值為﹣1,n的值為1.
(2)將y=2x﹣4代入到y(tǒng)=中有,
2x﹣4=,即2x2﹣4x﹣6=0,
解得:x1=﹣1,x2=3.
∴該“路線”L的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,﹣6)或(3,2).
令“帶線”l:y=2x﹣4中x=0,則y=﹣4,
∴“路線”L的圖象過(guò)點(diǎn)(0,﹣4).
設(shè)該“路線”L的解析式為y=m(x+1)2﹣6或y=n(x﹣3)2+2,
由題意得:﹣4=m(0+1)2﹣6或﹣4=n(0﹣3)2+2,
解得:m=2,n=﹣.
∴此“路線”L的解析式為y=2(x+1)2﹣6或y=﹣(x﹣3)2+2.
(3)令拋物線L:y=ax2+(3k2﹣2k+1)x+k中x=0,則y=k,
即該拋物線與y軸的交點(diǎn)為(0,k).
拋物線L:y=ax2+(3k2﹣2k+1)x+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣,),
設(shè)“帶線”l的解析式為y=px+k,
∵點(diǎn)(﹣,)在y=px+k上,
∴=﹣p+k,
解得:p=.
∴“帶線”l的解析式為y=x+k.
令∴“帶線”l:y=x+k中y=0,則0=x+k,
解得:x=﹣.
即“帶線”l與x軸的交點(diǎn)為(﹣,0),與y軸的交點(diǎn)為(0,k).
∴“帶線”l與x軸,y軸所圍成的三角形面積S=|﹣|×|k|,
∵≤k≤2,
∴≤≤2,
∴S===,
當(dāng)=1時(shí),S有最大值,最大值為;
當(dāng)=2時(shí),S有最小值,最小值為.
故拋物線L:y=ax2+(3k2﹣2k+1)x+k的“帶線”l與x軸,y軸所圍成的三角形面積的取值范圍為≤S≤.
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【題目】下列計(jì)算中正確的是( )
A. (-5)-(-3)=-8 B. (+5)-(-3)=2
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(1)求A、B、P三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求四邊形PQOB的面積.
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【題目】(2016湖北襄陽(yáng)第20題)
如圖,直線y=ax+b與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象交于A(1,4),B(4,n)兩點(diǎn),與x軸,y軸分別交干C,D兩點(diǎn).
(1)m= ,n= ;若M(xl,y1),N(x2,y2)是反比例函數(shù)圖象上兩點(diǎn),且0<xl<x2,則yl y2(填“<”或“=”或“>”);
(2)若線段CD上的點(diǎn)P到x軸,y軸的距離相等.求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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【題目】在直角坐標(biāo)平面內(nèi),圓心O的坐標(biāo)是(3,-5),如果圓O經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,-1),那么圓O與x軸的位置關(guān)系是.
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【題目】已知三條不同的直線a、b、c在同一平面內(nèi),下列四條命題: ①如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c; ②如果b∥a,c∥a,那么b∥c;
③如果b⊥a,c⊥a,那么b⊥c;④如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c.
其中真命題的是 . (填寫(xiě)所有真命題的序號(hào))
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【題目】暑假期間,小剛一家乘車(chē)去離家380公里的某景區(qū)旅游,他們離家的距離y(km)與汽車(chē)行駛時(shí)間x(h)之間的函數(shù)圖象如圖所示.
(1)從小剛家到該景區(qū)乘車(chē)一共用了多少時(shí)間?
(2)求線段AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式;
(3)小剛一家出發(fā)2.5小時(shí)時(shí)離目的地多遠(yuǎn)?
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【題目】如圖①,直線y=x+4交于x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)C,過(guò)A、C兩點(diǎn)的拋物線F1交x軸于另一點(diǎn)B(1,0).
(1)求拋物線F1所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若點(diǎn)M是拋物線F1位于第二象限圖象上的一點(diǎn),設(shè)四邊形MAOC和△BOC的面積分別為S四邊形MAOC和S△BOC,記S=S四邊形MAOC﹣S△BOC,求S最大時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及S的最大值;
(3)如圖②,將拋物線F1沿y軸翻折并“復(fù)制”得到拋物線F2,點(diǎn)A、B與(2)中所求的點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、B′、M′,過(guò)點(diǎn)M′作M′E⊥x軸于點(diǎn)E,交直線A′C于點(diǎn)D,在x軸上是否存在點(diǎn)P,使得以A′、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△AB′C相似?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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