【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,點C是⊙O上一點,AD與過點C的切線垂直,垂足為點D,直線DC與AB的延長線相交于點P,弦CE平分∠ACB,交AB于點F,連接BE.
(1)求證:AC平分∠DAB;
(2)求證:△PCF是等腰三角形;
(3)若AF=6,EF=2 ,求⊙O 的半徑長.

【答案】
(1)證明:∵PD為⊙O的切線,

∴OC⊥DP,

∵AD⊥DP,

∴OC∥AD,

∴∠DAC=∠OCA,

∵OA=OC,

∴∠OAC=∠OCA,

∴∠OAC=∠DAC,

∴AC平分∠DAB


(2)證明:∵AB為⊙O的直徑,

∴∠ACB=90°,

∵CE平分∠ACB,

∴∠BCE=45°,

∴∠BOE=2∠BCE=90°,

∴∠OFE+∠OEF=90°,

而∠OFE=∠CFP,

∴∠CFP+∠OEF=90°,

∵OC⊥PD,

∴∠OCP=90°,即∠OCF+∠PCF=90°,

而∠OCF=∠OEF,

∴∠PCF=∠CFP,

∴△PCF是等腰三角形


(3)解:連結(jié)OE.

∵AB為⊙O的直徑,∴∠ACB=90°,

∵CE平分∠ACB,∴∠BCE=45°,

∴∠BOE=90°,即OE⊥AB,

設(shè)⊙O 的半徑為r,則OF=6﹣r,

在Rt△EOF中,∵OE2+OF2=EF2,

∴r2+(6﹣r)2=(2 2

解得,r1=4,r2=2,

當(dāng)r1=4時,OF=6﹣r=2(符合題意),

當(dāng)r2=2時,OF=6﹣r=4(不合題意,舍去),

∴⊙O的半徑r=4.


【解析】(1)根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥AD,而AD⊥DP,則肯定判斷OC∥AD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠DAC=∠OCA,加上∠OAC=∠OCA,所以∠OAC=∠DAC;(2)根據(jù)圓周角定理由AB為⊙O的直徑得∠ACB=90°,則∠BCE=45°,再利用圓周角定理得∠BOE=2∠BCE=90°,則∠OFE+∠OEF=90°,易得∠CFP+∠OEF=90°,再根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OCF+∠PCF=90°,而∠OCF=∠OEF,根據(jù)等角的余角相等得到∠PCF=∠CFP,于是可判斷△PCF是等腰三角形;(3)連結(jié)OE.由AB為⊙O的直徑,得到∠ACB=90°,根據(jù)角平分線的定義得到∠BCE=45°,設(shè)⊙O 的半徑為r,則OF=6﹣r,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論.
【考點精析】本題主要考查了切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識點,需要掌握切線的性質(zhì):1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點,直線l是拋物線的對稱軸.

(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)點P是直線l上的一個動點,當(dāng)△PAC的周長最小時,求點P的坐標(biāo);
(3)在直線l上是否存在點M,使△MAC為等腰三角形?若存在,直接寫出所有符合條件的點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(4)問:若拋物線頂點為D,點Q為直線AC上一動點,當(dāng)△DOQ的周長最小時,求點Q的坐標(biāo)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】閱讀理解:

(1)如圖(1),等邊△ABC內(nèi)有一點P到頂點A,B,C的距離分別為3,4,5,則∠APB=
分析:由于PA,PB不在一個三角形中,為了解決本題我們可以將△ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處,此時△ACP′≌ , 這樣,就可以利用全等三角形知識,將三條線段的長度轉(zhuǎn)化到一個三角形中從而求出∠APB的度數(shù).
(2)請你利用第(1)題的解答思想方法,解答下面問題:已知如圖(2),△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E、F為BC上的點且∠EAF=45°,求證:BE2+CF2=EF2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知關(guān)于的方程x2+2x+m﹣2=0.
(1)若該方程有兩個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)當(dāng)該方程的一個根為1時,求m的值及方程的另一根.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,菱形的對角線相交于點,過點,連接、,連接于點.

(1)求證:;

(2)若菱形的邊長為2, .求的長.

【答案】(1)證明見解析(2)

【解析】試題分析:(1)先求出四邊形OCED是平行四邊形,再根據(jù)菱形的對角線互相垂直求出∠COD=90°,證明OCED是矩形,可得OE=CD即可;

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC=AB,再根據(jù)勾股定理得出AE的長度即可.

(1)證明:在菱形ABCD中,OC=AC

DE=OC

DEAC,

∴四邊形OCED是平行四邊形.

ACBD,

∴平行四邊形OCED是矩形.

OE=CD

(2)在菱形ABCD中,∠ABC=60°

AC=AB=2.

∴在矩形OCED中,

CE=OD=

RtACE中,

AE=

點睛:本題考查了菱形的性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題,熟記矩形的判定方法與菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

型】解答
結(jié)束】
25

【題目】如圖,反比例函數(shù)y=的圖象與一次函數(shù)y=kx+b的圖象交于A,B兩點,點A的坐標(biāo)為(2,6),點B的坐標(biāo)為(n,1).

(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達式;

(2)結(jié)合圖像寫出不等式的解集;

(3)點E為y軸上一個動點,若SAEB=10,求點E的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,E為正方形ABCD對角線BD上的一點,且BEBC1

1)求DCE的度數(shù);

2)點PEC上,作PMBDM,PNBCN,求PMPN的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某工廠計劃生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品共10件,其生產(chǎn)成本和利潤如下表:


A種產(chǎn)品

B種產(chǎn)品

成本(萬元/件)

2

5

利潤(萬元/件)

1

3

1)若工廠計劃獲利14萬元,問A,B兩種產(chǎn)品應(yīng)分別生產(chǎn)多少件?

2)若工廠計劃投入資金不多于44萬元,且獲利多于14萬元,問工廠有哪幾種生產(chǎn)方案?

3)在(2)的條件下,哪種生產(chǎn)方案獲利最大?并求出最大利潤.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在菱形ABCD中,AB=10,ABC=60°.點P從點B沿BC以每秒1個單位長的速度勻速運動,射線PF隨點P移動,始終保持與BC垂直,并交折線BA﹣AC于點E,交直線AD于點F.設(shè)點P運動時間為t秒,且點P只在BC上運動

(1)當(dāng)t為何值時,BP=AF?

(2)設(shè)直線PF掃過菱形ABCD的面積為S,試用t的式子表示S.(寫解題過程)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(﹣2,3)、B(﹣6,0)、C(﹣1,0).

(1)請直接寫出點A關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo);
(2)將△ABC繞坐標(biāo)原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90度.畫出圖形,直接寫出點B的對應(yīng)點的坐標(biāo);
(3)請直接寫出:以A、B、C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標(biāo).

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