【題目】如圖,把正方形ABCD繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到正方形A′B′CD′(此時,點(diǎn)B′落在對角線AC上,點(diǎn)A′落在CD的延長線上),A′B′交AD于點(diǎn)E,連接AA′、CE.
求證:

(1)△ADA′≌△CDE;
(2)直線CE是線段AA′的垂直平分線.

【答案】
(1)

證明:∵四邊形ABCD是正方形,

∴AD=CD,∠ADC=90°,

∴∠A′DE=90°,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的方法可得:∠EA′D=45°,

∴∠A′ED=45°,

∴A′D=DE,

在△AA′D和△CED中

AD=CD

∠ADA′=∠EDC

A′D=ED∴△AA′D≌△CED(SAS);


(2)

證明:∵根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得AC=A′C,

∴點(diǎn)C在AA′的垂直平分線上,

∵AC是正方形ABCD的對角線,

∴∠CAE=45°,

∵AC=A′C,CD=CB′,

∴AB′=A′D,

在△AEB′和△A′ED中

∠EAB′=∠EA′D

∠AEB′=∠A′ED

AB′=A′D

∴△AEB′≌△A′ED,

∴AE=A′E,

∴點(diǎn)E也在AA′的垂直平分線上,

∴直線CE是線段AA′的垂直平分線


【解析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=CD,∠ADC=90°,∠EA′D=45°,則∠A′DE=90°,再計(jì)算出∠A′ED=45°,根據(jù)等角對等邊可得A′D=ED,即可利用SAS證明△AA′D≌△CED;(2)首先由AC=A′C,可得點(diǎn)C在AA′的垂直平分線上;再證明△AEB′≌△A′ED,可得AE=A′E,進(jìn)而得到點(diǎn)E也在AA′的垂直平分線上,再根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線可得直線CE是線段AA′的垂直平分線.

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A.45°
B.30°
C.25°
D.15°

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A.

B.

C.2﹣
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