Question

【題目】如圖，拋物線過A（1,0）、B（－1，－1）、C（3，m）三點(diǎn)。

（1）求拋物線的解析式及m的值；

（2）判斷與AC的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，當(dāng)PHx軸于點(diǎn)H時(shí)，以P、H、A為頂點(diǎn)的三角形與　相似？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為，m的值為-4；

（2）⊥AC ，證明見解析；

（3）存在點(diǎn)P共3個(gè)，分別為P1()，P2()，P3(3,-4)或P4().

【解析】試題分析：（1）待定系數(shù)法求解析式；

（2）利用勾股定理求得三邊長，由勾股定理逆定理可探究出結(jié)論；

（3）利用三角形相似的判定轉(zhuǎn)化為求方程的解而得解.

試題解析：（1）由題可知解得

；

（2）⊥AC，證明如下：

，

⊥AC .

（3）設(shè)P（），則PH=， ，

時(shí)， ∽;

∴，即，

解得或x=,

當(dāng)時(shí)，P與A、B重合

，此時(shí)P()或P()；

時(shí), ∽;

∴即

解得 ，

當(dāng)x=時(shí)，與A重合

x=3 或,此時(shí)點(diǎn)P為P(3,-4)或P()

所以存在點(diǎn)P共3個(gè)，分別為P1()，P2()，P3(3,-4)或P4().