Question

【題目】閱讀資料，解決問題．

人教版《數(shù)學(xué)九年級(jí)（下冊(cè)）》的頁有這樣一個(gè)思考問題：

問題：如圖，在中，交，于點(diǎn)，，如果通過“相似的定義”證明？

根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”容易得出三對(duì)對(duì)應(yīng)角分別相等，再根據(jù)“平行線分線段成比例”的基本事實(shí)，容易得出，所以這個(gè)問題的核心時(shí)如何證明“”．

證明思路：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，構(gòu)造平行四邊形，得到，從而將比例式中的，轉(zhuǎn)化為共線的兩條線段，，同時(shí)也構(gòu)造了基本圖形“”，得到，從而得證．

解決問題：

（）①類比資料中的證明思路，請(qǐng)你證明“三角形內(nèi)角平分線定理”．

三角形內(nèi)角平分線定理：三角形的內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例．

已知：如圖，中，是角平分線．

求證：．

②運(yùn)用“三角形內(nèi)角平分線定理”填空：

已知：如圖，中，是角平分線，，，，則__________．

（）我們知道，如果兩個(gè)三角形有相同的高或者相等的高，那么它們面積的比就等于底的比．

請(qǐng)你通過研究和面積的比來證明三角形內(nèi)角平分線定理．

已知：如圖，中，是角平分線．

求證：．

Answer 1

【答案】（）①證明見解析② （2）證明見解析

【解析】

（1）①如圖過點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，然后說明，利用相似三角形的性質(zhì)即可完成證明;②設(shè),然后利用（1）的結(jié)論和已知條件即可完成解答; （）過點(diǎn)作，的垂線，垂足為、，

過點(diǎn)作的垂線，垂足為;先利用角平分線定理說明，然后再利用等面積法得到和，從而得到，即.

（）①證明：過點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

∴，

又∵平分，

∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴．

②設(shè)，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

．

（）過點(diǎn)作，的垂線，垂足為、，

過點(diǎn)作的垂線，垂足為，

∵為的角分線，

∴，

，

又∵，

∴，

∴．