Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12．動(dòng)點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)沿DC以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CB以每秒2個(gè)單位的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）梯形ABCD的面積等于

 

；
（2）當(dāng)PQ∥AB時(shí)，P點(diǎn)離開(kāi)D點(diǎn)的時(shí)間等于

 

秒；
（3）當(dāng)P，Q，C三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時(shí)，P點(diǎn)離開(kāi)D點(diǎn)多少時(shí)間？

Answer 1

分析：（1）已知梯形各邊的長(zhǎng)，用勾股定理易求高以及其面積；
（2）本題要找出線(xiàn)段之比，設(shè)要用x秒后PQ∥AB，已知

PC

CN

=

CQ

CB

，求出x的值即可；
（3）本題有兩種情況．當(dāng)PQ⊥BC，利用

CP

CD

=

CQ

CE

求解．第二種是當(dāng)QP⊥CD時(shí)，設(shè)P點(diǎn)離開(kāi)D點(diǎn)x秒，利用線(xiàn)段比求解．

解答：解：（1）36；

（2）分別延長(zhǎng)BA和CD，交于點(diǎn)N，
則NA：NB=AD：BC，即

NA

NA+5

=

6

12

NA=5，則ND=NA=5．
設(shè)用了x秒PQ∥AB，則DP=x，PC=5-x，CQ=2x．
PC：CN=CQ：CB，

5-x

5+5

=

2x

12

，x=

15

8

．
即當(dāng)PQ∥AB時(shí)，P點(diǎn)離開(kāi)D點(diǎn)的時(shí)間等于

15

8

秒；

（3）當(dāng)P，Q，C三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時(shí)，有兩種情況：

①當(dāng)PQ⊥BC時(shí)，設(shè)P點(diǎn)離開(kāi)D點(diǎn)x秒，
作DE⊥BC于E，∴PQ∥DE．
∴

CP

CD

=

CQ

CE

，

5-x

5

=

2x

3

∴x=

15

13

∴當(dāng)PQ⊥BC時(shí)，P點(diǎn)離開(kāi)D點(diǎn)

15

13

秒．
②當(dāng)QP⊥CD時(shí)，設(shè)P點(diǎn)離開(kāi)D點(diǎn)x秒
∵∠QPC=∠DEC=90°，∠C=∠C．
∴△QPC∽△DEC
∴

PC

EC

=

CQ

CD

5-x

3

=

2x

5

∴x=

25

11

∴當(dāng)QP⊥CD時(shí)，點(diǎn)P離開(kāi)點(diǎn)D

25

11

秒．
由①②知，當(dāng)P，Q，C三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時(shí)，點(diǎn)P離開(kāi)點(diǎn)D

15

13

秒或

25

11

秒．

點(diǎn)評(píng)：本題涉及大量的線(xiàn)段比以及要靠輔助線(xiàn)的幫助才能求解，有一定難度，需認(rèn)真分析．