如圖,已知A點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0),B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,8),⊙A與y軸相切,AB交⊙O于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作⊙A的切線交y軸于點(diǎn)C,交x軸于點(diǎn)D.
(1)證明:AD=AB;
(2)求經(jīng)過(guò)A,D,C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(3)若點(diǎn)M在第一象限,且在(2)中的拋物線上,求四邊形AMCD面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】分析:(1)首先求證△ADP≌△ABO得出AD=AB;
(2)求出AB以及D點(diǎn)坐標(biāo),然后證明△DCO∽△DAP.設(shè)y=a(x-6)(x+4)易求a的值;
(3)設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(p,q),過(guò)M做MN⊥X軸,可得則S四邊形AMCD=S△COD+S四邊形MNOC+S△MNA,解出p值.
解答:解:(1)∵DP切⊙A于P,
∴∠APD=90°
在△ADP和△ABO中,,
∴△ADP≌△ABO(ASA),
∴AD=AB.

(2)在Rt△AOB中,由AO=6,BO=8,得AB=10.
∵AD=AB,故AD=10,
∴OD=AD-AO=4,
因此D點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,0)
又∵∠CDO=∠ADP,∠COD=∠APD=90°
∴△DCO∽△DAP

,CO=3.
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)
經(jīng)過(guò)A(6,0),D(-4,0),C(0,3)的拋物線解析式可設(shè)為y=a(x-6)(x+4),
將C(0,3)代入得,
所以,所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-(x-6)(x+4)=-x2+x+3.

(3)設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(p,q),-p>0,q>0,q=-p2+p+3,
過(guò)M作MN⊥x軸于N,則S四邊形AMCD=S△COD+S四邊形MNOC+S△MNA
=×4×3+×p+(6-p)×q
=6+p+3q=-p2+p+15=-(p-3)2+
∴當(dāng)p=3時(shí),四邊形AMCD面積最大,最大值為
此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為(3,).
點(diǎn)評(píng):本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用以及四邊形和三角形的面積公式,難度較大.
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(1)證明:AD=AB;
(2)求經(jīng)過(guò)A,D,C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(3)若點(diǎn)M在第一象限,且在(2)中的拋物線上,求四邊形AMCD面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

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    ①.3             ②.
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3
3
          ③.4           ④.
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如圖,已知A點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0),直線y軸交于點(diǎn)B,連接AB,若∠a=75°,則b的值為 (      )

A.3B.C.D.

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