【題目】已知:在⊙O中,弦AC⊥弦BD,垂足為H,連接BC,過點D作DE⊥BC于點E,DE交AC于點F.

(1)如圖1,求證:BD平分∠ADF;

(2)如圖2,連接OC,若OC平分∠ACB,求證:AC=BC;

(3)如圖3,在(2)的條件下,連接AB,過點D作DN∥AC交⊙O于點N,若tan∠ADB=,AB=3,求DN的長.

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)9.

【解析】試題分析:(1)先根據(jù)同角的余角相等可證得: ACBBDE,再根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得: ACB=ADB,所以∠BDE=ADB,所以BD平分∠ADF,(2)連接OB,OA,

AOC,BOC是等腰三角形,再證△AOC≌△BOC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得:AC=BC,

(3)根據(jù)∠ACB=ADB, tanADB=,所以tanACB=,所以,可設(shè)BH=3x,CH=4x,由勾股定理可得:BC=5x,AC=5x,所以AH=x,根據(jù)勾股定理可得: ,因為AB=,所以可得: ,,解得:x=3,所以DH=4,CH=12,BH=9,BC=15,

所以BD=13,由相似三角形性質(zhì)可得:BN=,再根據(jù)勾股定理解得: DN=9.

試題解析:(1) 因為弦AC⊥弦BD, DEBC于點E,

所以∠ACB+DBEBDE+DBE=90°,

所以∠ACBBDE,

又因為∠ACB=ADB,

所以∠BDE=ADB,

所以BD平分∠ADF,

(2) 連接OB,OA,則△AOC,BOC是等腰三角形,

所以∠OCB=OBC, OAC=OCA,

又因為OC平分∠ACB,

所以∠OCB==OCA,

所以∠OBC=OAC,

在△AOC和△BOC,

,

所以△AOCBOC,

所以AC=BC,

(3)因為∠ACB=ADB, tanADB=,

所以tanACB=,所以,可設(shè)BH=3x,CH=4x,由勾股定理得:BC=5x,

AC=5x,所以AH=x,

因為AB=,根據(jù)勾股定理得: ,

所以得: ,,解得:x=3,

所以BC=15,

設(shè)等腰ACB底邊AB上的高為h,由勾股定理可得: ,

根據(jù)相似三角形性質(zhì)可得: ,,解得BN=,

根據(jù)勾股定理可得:DN==.

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(2)若t=1時,平移線段AB,使點A、B到坐標(biāo)軸上的點、處,指出平移的方向和距離,并求出點、的坐標(biāo);

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