【題目】如圖,在ABCD中,∠ABD的平分線BE交AD于點E,∠CDB的平分線DF交BC于點F,連接BD.
(1)求證:△ABE≌△CDF;
(2)若AB=DB,求證:四邊形DFBE是矩形.

【答案】證明:(1)在□ABCD中,AB=CD,∠A=∠C.
∵AB∥CD,
∴∠ABD=∠CDB.
∵BE平分∠ABD,DF平分∠CDB,
∴∠ABE=∠ABD,∠CDF=∠CDB.
∴∠ABE=∠CDF.
∵在△ABE和△CDF中,

∴△ABE≌△CDF(ASA).
(2)∵△ABE≌△CDF,
∴AE=CF,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴DE∥BF,DE=BF,
∴四邊形DFBE是平行四邊形,
∵AB=DB,BE平分∠ABD,
∴BE⊥AD,即∠DEB=90°.
∴平行四邊形DFBE是矩形.
【解析】(1)根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AB=CD,∠A=∠C.求出∠ABD=∠CDB.推出∠ABE=∠CDF,根據(jù)ASA推出全等即可;
(2)根據(jù)全等得出AE=CF,根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AD∥BC,AD=BC,推出DE∥BF,DE=BF,得出四邊形DFBE是平行四邊形,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠DEB=90°,根據(jù)矩形的判定推出即可.

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