如圖1,點O是正方形ABCD兩對角線的交點,分別延長OD到點G,OC到點E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形OEFG,連接AG,DE.

(1)求證:DE⊥AG;

(2)正方形ABCD固定,將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′,如圖2.

①在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)∠OAG′是直角時,求α的度數(shù);

②若正方形ABCD的邊長為1,在旋轉(zhuǎn)過程中,求AF′長的最大值和此時α的度數(shù),直接寫出結(jié)果不必說明理由.


【考點】幾何變換綜合題.

【專題】壓軸題.

【分析】(1)延長ED交AG于點H,易證△AOG≌△DOE,得到∠AGO=∠DEO,然后運用等量代換證明∠AHE=90°即可;

(2)①在旋轉(zhuǎn)過程中,∠OAG′成為直角有兩種情況:α由0°增大到90°過程中,當(dāng)∠OAG′=90°時,α=30°,α由90°增大到180°過程中,當(dāng)∠OAG′=90°時,α=150°;

②當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A、O、F′在一條直線上時,AF′的長最大,AF′=AO+OF′=+2,此時α=315°.

【解答】解:(1)如圖1,延長ED交AG于點H,

∵點O是正方形ABCD兩對角線的交點,

∴OA=OD,OA⊥OD,

∵OG=OE,

在△AOG和△DOE中,

∴△AOG≌△DOE,

∴∠AGO=∠DEO,

∵∠AGO+∠GAO=90°,

∴∠GAO+∠DEO=90°,

∴∠AHE=90°,

即DE⊥AG;

(2)①在旋轉(zhuǎn)過程中,∠OAG′成為直角有兩種情況:

(Ⅰ)α由0°增大到90°過程中,當(dāng)∠OAG′=90°時,

∵OA=OD=OG=OG′,

∴在Rt△OAG′中,sin∠AG′O==,

∴∠AG′O=30°,

∵OA⊥OD,OA⊥AG′,

∴OD∥AG′,

∴∠DOG′=∠AG′O=30°,

即α=30°;

(Ⅱ)α由90°增大到180°過程中,當(dāng)∠OAG′=90°時,

同理可求∠BOG′=30°,

∴α=180°﹣30°=150°.

綜上所述,當(dāng)∠OAG′=90°時,α=30°或150°.

②如圖3,當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A、O、F′在一條直線上時,AF′的長最大,

∵正方形ABCD的邊長為1,

∴OA=OD=OC=OB=,

∵OG=2OD,

∴OG′=OG=,

∴OF′=2,

∴AF′=AO+OF′=+2,

∵∠COE′=45°,

∴此時α=315°.

【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)的綜合運用,有一定的綜合性,分類討論當(dāng)∠OAG′是直角時,求α的度數(shù)是本題的難點.


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實數(shù),−2.5,−3的大小關(guān)系是(        )

A.   B.   C.   D.

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不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是( 。

A.    B.   

C.    D.

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計算.

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方程組的解是( 。

A.      B.   C.      D.

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如圖,在△ABC中,AB=AC,點D是BC邊上的中點,DE、DF分別垂直AB、AC于點E和F.

求證:DE=DF.

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計算:(3.14﹣0+(﹣3)2= 

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如圖,已知拋物線y=ax2+bx﹣3與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,經(jīng)過A、B、C三點的圓的圓心M(1,m)恰好在此拋物線的對稱軸上,⊙M的半徑為.設(shè)⊙M與y軸交于D,拋物線的頂點為E.

(1)求m的值及拋物線的解析式;

(2)設(shè)∠DBC=α,∠CBE=β,求sin(α﹣β)的值;

(3)探究坐標(biāo)軸上是否存在點P,使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCE相似?若存在,請指出點P的位置,并直接寫出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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已知直線y=-x+3a和直線y=x+a的交點坐標(biāo)為(m,8),則m的值為(    )

A.4        B.8        C.16       D.24

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