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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C (a>b>0)經過點(1,e),其中e為橢圓的離心率.F1、F2是橢圓的兩焦點,M為橢圓短軸端點且△MF1F2為等腰直角三角形.

(1)求橢圓C的方程;

(2)設不經過原點的直線l與橢圓C相交于A、B兩點,第一象限內的點P(1,m)在橢圓上,直線OP平分線段AB,求:當△PAB的面積取得最大值時直線l的方程.

【答案】(1) .(2)

【解析】試題分析:(1)根據等腰三角形的性質及點在橢圓上結合性質 ,列出關于 、的方程組,求出 、,即可得結果;(2)設出直線方程,直線方程與橢圓方程聯立消去可得根據韋達定理、弦長公式以及三角形面積公式可得,換元后,利用導數求出三角形面積最大時的 的取值即可得到直線方程.

試題解析: (1)橢圓=1經過(1,e),

=1,

e,=1,解之得b2=1,

橢圓方程為y2=1.

MF1F2為等腰直角三角形,

bc=1,a

故橢圓方程為y2=1.

(2)(1)可知橢圓的方程為y2=1,

P(1,),

由題意,當直線l垂直于x軸時顯然不合題意.

設不經過原點的直線l的方程ykxt(t0)交橢圓CA(x1,y1),B(x2,y2),

消去y(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,

Δ=(4kt)2-4(1+2k2)·(2t2-2)=16k2-8t2+8>0,

x1x2=-y1y2k(x1x2)+2t,

x1x2,

直線OP方程為yxOP平分線段AB

×,解得k=-

|AB|=·

P到直線l的距離dh,

SPAB|AB|h

f(t)=(t)2(4-2t2)

=-2t4+4t3-8t+8,

由直線l與橢圓C相交于A、B兩點可得-<t<

求導可得t=-f(t)(-,)上有最大值,此時SPAB取得最大值,

此時直線l的方程y=-x

【方法點晴】本題主要考查待定系數求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關系,屬于難題.用待定系數法求橢圓方程的一般步驟;①作判斷:根據條件判斷橢圓的焦點在軸上,還是在軸上,還是兩個坐標軸都有可能;②設方程:根據上述判斷設方程 ;③找關系:根據已知條件,建立關于、的方程組;④得方程:解方程組,將解代入所設方程,即為所求.

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