Question

在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)處分別標(biāo)上1，2，3，4，5，6，7，8，然后再把每條棱兩端所標(biāo)的兩個(gè)數(shù)之和寫在這條棱的中點(diǎn)，問(wèn)各棱中點(diǎn)所寫的數(shù)是否可能恰有五種不同數(shù)值？各棱中點(diǎn)所寫的數(shù)是否可能恰有四種不同數(shù)值？如果可能，對(duì)照如圖在表中填上正確的數(shù)字；如果不可能，說(shuō)明理由．

不同數(shù)值	A	B	C	D	E	F	G	H
6，8，9，10，12	1	5	3	7	8	4	6	2

Answer 1

分析：各棱中點(diǎn)處所寫的數(shù)恰有五種不同數(shù)值是可能的，如在A、B、…、H依次填1，5、3、7、8、4、6、2，則中點(diǎn)處恰有五個(gè)不同數(shù)值6、8、9、10、12．不可能少于五種不同數(shù)值，理由如下：
以1所在頂點(diǎn)為端點(diǎn)的棱有三條，不妨設(shè)這三條棱的另一端點(diǎn)所填寫的數(shù)是a、b、c，滿足a＜b＜c，則這三條棱的中點(diǎn)處的數(shù)為1+a，1+b和1+c，滿足1+a＜1+b＜1+c．
以8所在頂點(diǎn)為端點(diǎn)的棱也有三條，不妨設(shè)這三條棱另一端點(diǎn)所填寫的數(shù)為x、y、2，滿足x＜y＜z，則這三條棱的中點(diǎn)處的數(shù)為8+x，8+y，8+z，滿足8+x＜8+y＜8+z．
又 c≤8，1+c≤9；x≥1，8+x≥9，所以 1+a＜1+b＜1+c≤8+x＜8+y＜8+z，從而這六條棱中點(diǎn)的六個(gè)數(shù)不可能少于五種不同的值，因此在12條棱中的點(diǎn)處所寫的數(shù)不可能有少于五種不同的數(shù)值．

解答：解：因?yàn)橐?所在頂點(diǎn)為端點(diǎn)的棱有三條，不妨設(shè)這三條棱的另一端點(diǎn)所填寫的數(shù)是a、b、c，滿足a＜b＜c，
則這三條棱的中點(diǎn)處的數(shù)為1+a，1+b和1+c，滿足1+a＜1+b＜1+c．
以8所在頂點(diǎn)為端點(diǎn)的棱也有三條，不妨設(shè)這三條棱另一端點(diǎn)所填寫的數(shù)為x、y、2，滿足x＜y＜z，
則這三條棱的中點(diǎn)處的數(shù)為8+x，8+y，8+z，滿足8+x＜8+y＜8+z．
又 c≤8，1+c≤9；x≥1，8+x≥9，
所以，1+a＜1+b＜1+c≤8+x＜8+y＜8+z
從而這六條棱中點(diǎn)的六個(gè)數(shù)不可能少于五種不同的值，因此在12條棱中的點(diǎn)處所寫的數(shù)不可能有少于五種不同的數(shù)值．

點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出以1和以8為所在頂點(diǎn)為端點(diǎn)的棱，進(jìn)而依次得出棱的中點(diǎn)數(shù)，進(jìn)而解決問(wèn)題．