Question

【題目】如圖，在以為頂點的多面體中，四邊形是菱形， ， .

（1）求證： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析;(2) .

【解析】試題分析：（1）利用菱形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理可得，結(jié)合條件，由線面垂直的判定定理可得平面；（2）分別以為軸，以為軸，連結(jié)與中點作為軸建立坐標(biāo)系，分別根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面與平面的一個法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，可得結(jié)果.

試題解析：（1）證明：連結(jié)

四邊形是菱形， 得

在中，

滿足得

平面

（2）分別以為軸，以為軸，連結(jié)與中點作為軸

，得，

取的中點，則

面的法向量為：

設(shè)面的一個法向量為：

得得

由

【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題. 空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.