Question

15．（1）一個圓的外切正方形的面積是它的內接正方形的2倍．
（2）一個正方形的外接圓的面積是它的內切圓的2倍．

Answer 1

分析 （1）設圓的半徑為r，則內接正方形的邊長為$\sqrt{2}$r，其面積是（$\sqrt{2}$r）²=2r²，外切圓的邊長為2r，其面積為（2r）²=4r²，用外切正方形面積除以內接正方形面積；
（2）設正方形的邊長為1，則內圓的半徑為$\frac{1}{2}$，外圓的半徑為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由此即可求出內、外圓的面積，用外圓面積除以內圓面積；

解答 解：（1）設圓的半徑為r．
則內接正方形的邊長為$\sqrt{2}$r，
其面積是（$\sqrt{2}$r）²=2r²，
外切圓的邊長為2r，
其面積為（2r）²=4r²，
4r²÷2r²=2．
答：一個圓的外切正方形的面積是它的內接正方形的2倍．

（2）解：設正方形的邊長為1
則內圓的半徑為$\frac{1}{2}$，面積為π×（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{π}{4}$
外圓的半徑為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，面積為π×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{π}{2}$
$\frac{π}{2}$÷$\frac{π}{4}$=2
答：一個正方形的外接圓的面積是它的內接圓的2倍．
故答案為：2、2．

點評 （1）此題單獨求兩個正方形的面積不好求，這兩個正方形都與這個圓有關系，巧妙地利用這兩個正方形邊長與圓半徑的關系，求出含有這個圓半徑的兩個正方形的面積，從而使問題得到解決．
（2）此題單獨求兩個圓的面積不好求，這兩個圓都與這個正方形有關系，可設這個正方形的邊長為1，求出這兩個圓的面積，進而求出外接圓的面積是它的內接圓的多少倍．