Question

八個(gè)學(xué)生8道問(wèn)題．
（a）若每道題至少被5人解出，請(qǐng)說(shuō)明可以找到兩個(gè)學(xué)生，每道題至少被這兩個(gè)學(xué)生中的一個(gè)解出．
（b）如果每道題只有4個(gè)學(xué)生解出，那么（a）的結(jié)論一般不成立．試構(gòu)造一個(gè)例子說(shuō)明這點(diǎn)．

Answer 1

（a）設(shè)解題最多的人解出d道題．將解出的題數(shù)相加，八個(gè)人至多解出8d道，
另一方面，每題至少被5個(gè)人解出，八個(gè)人至少解出8×5道題．
所以8d≥8×5，則d≥5
d=8時(shí)，結(jié)論成立，
d=7時(shí)，必有人解出剩下的一道題，這兩人為所求，
d=6時(shí)，剩下的兩道題，各有5人解出，5+5＞7．所以至少有一人同時(shí)解出這兩道題，他與解題最多的人為所求，
d=5時(shí)．另三道題每道各有5人解出，設(shè)這三道題是6，7，8，解出6的人數(shù)與解出7的人數(shù)之和為10，而除解題最多的人外只有7人，所以，有三人同時(shí)解出6，7二題，又解出8的人數(shù)為5，3+5=8＞7，所以必有一人同時(shí)解出6，7，8這三道題，他與解題最多的人為所求．

（b）如下表所示：

由上述推算可得：當(dāng)其中一人答對(duì)4題時(shí)，對(duì)于剩下的4題，其他7人不能保證有人一全部答對(duì)，所以此時(shí)（a）不成立．