Question

有15位同學(xué)，每位同學(xué)都有一個(gè)編號(hào)，依次是1至15號(hào)．1號(hào)同學(xué)寫(xiě)了一個(gè)五位數(shù)，2號(hào)同學(xué)說(shuō)：“這個(gè)數(shù)能被2整除”，3號(hào)同學(xué)說(shuō)：“這個(gè)數(shù)能被3整除”，4號(hào)同學(xué)說(shuō)：“這個(gè)數(shù)能被4整除”……15號(hào)同學(xué)說(shuō)：“這個(gè)數(shù)能被15整除．”1號(hào)同學(xué)一一驗(yàn)算了，只有編號(hào)連續(xù)的兩位同學(xué)說(shuō)得不對(duì)，其他同學(xué)都說(shuō)得對(duì)．問(wèn)：

(1)說(shuō)得不對(duì)的兩位同學(xué)的編號(hào)各是多少？

(2)這個(gè)五位數(shù)最小是多少？

Answer 1

答案：
解析：

一個(gè)數(shù)能夠被2、3整除，而(2、3)＝1，所以必能被6整除．同理，一個(gè)數(shù)能被3、5整除，必能被15整除，一個(gè)數(shù)能被3、4整除，必能被12整除……不斷擴(kuò)大能整除這個(gè)五位數(shù)的15以內(nèi)(包括15)的自然數(shù)，從而引申出那兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)肯定不能整除這個(gè)數(shù)，這兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的編號(hào)對(duì)應(yīng)的兩位同學(xué)說(shuō)得不對(duì)．(1)根據(jù)題意，這個(gè)數(shù)一定能被2～7整除，否則這個(gè)數(shù)也不能被2～7的2倍數(shù)整除．由于這個(gè)數(shù)能被2和5整除，由(2、5)＝1知這個(gè)數(shù)必能被10整除．同理，這個(gè)數(shù)也能被12，14，15整除．雖然，11、13不能直接確定能否整除這個(gè)數(shù)，但由“只有編號(hào)連續(xù)的兩位同學(xué)說(shuō)得不對(duì)，其他同學(xué)都說(shuō)得對(duì)”可知，這個(gè)數(shù)也能被11、13整除．剩下的不能被整除的兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)只有8和9，故說(shuō)得不對(duì)的兩位同學(xué)的編號(hào)各是8、9．(2)2，3，4，5，6，7，10，11．12，13，14，15的最小公倍數(shù)等于5×7×11×12×13＝60 060，故這個(gè)五位數(shù)最小是60 060