Question

將自然數(shù)1、2、3，…依次寫下去組成一個數(shù)：12345678910111213…，如果寫到某個自然數(shù)時，所組成的數(shù)恰好第一次能被72整除，那么這個自然數(shù)是多少？

Answer 1

分析：72=8×9，8和9互質(zhì)，即這個自然數(shù)能同時被8和9整除．因為任意9個連續(xù)自然數(shù)的和能被9整除，所以任意9個連續(xù)自然數(shù)所組成的多位數(shù)一定能被9整除．那么，當寫到9、18、27、36、45、…時，能被9整除．因為9、18、27、36、45、…本身又都是9的倍數(shù)，所以，寫到8、17、26、35、44、…時也都能被9整除．又因為被8整除的數(shù)的特征為末三位所組成的數(shù)能被8整除．因為678、718、526都不能被8整除，而536能被8整除，所以這個自然數(shù)為36．

解答：解：因為72=8×9，8和9互質(zhì)，任意9個連續(xù)自然數(shù)所組成的多位數(shù)一定能被9整除，
則9、18、27、36、45、…時，能被9整除．
因為9、18、27、36、45、…本身又都是9的倍數(shù)，
所以寫到8、17、26、35、44、…時也都能被9整除．
因為678、718、526都不能被8整除，而536能被8整除，
所以這個自然數(shù)為36．
答：這個自然數(shù)是36．

點評：考查了數(shù)的整除特征，關(guān)鍵是熟悉任意9個連續(xù)自然數(shù)的和能被9整除，被8整除的數(shù)的特征為末三位所組成的數(shù)能被8整除．