Question

有兩個自然數(shù)，它們的和等于b（b=279），它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之和等于693，這兩個自然數(shù)的差等于

 

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Answer 1

考點：求幾個數(shù)的最大公因數(shù)的方法,求幾個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法

專題：數(shù)的整除

分析：首先要明確：這兩個的最大公因數(shù)是這兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的乘積，它們的最小公倍數(shù)是這兩個數(shù) 公有質(zhì)因數(shù)和各自單獨有的質(zhì)因數(shù)的連乘積．因此可以設(shè)這兩個數(shù)分別為x、y．根據(jù)題意列方程求出這兩個數(shù) 進而求出它們的差．

解答： 解：設(shè)兩個數(shù)為x和y，其中最大公因數(shù)為m，
有x+y=297，其中x=a×m，y=c×m
所以（a+c）×m=297
又m+m×a×c=（1+a×c）×m=693，
所以m為297與693的公因數(shù)（不一定是最大公因數(shù)），
而297有因數(shù)1、3、9、11、27、33、99、297；
693有因數(shù)1、3、7、9、11、21、33、63、77、99、231、697；
設(shè)m=99，則a×c=6 a+c=3，a，c無解，
設(shè)m=33 則a×c=20 a+c=9 所以a=5，c=4，
所以x=165 y=132
x-y=33．
答：這兩個自然數(shù)的差等于33．
故答案為：33．

點評：此題解答根據(jù)是明確：這兩個的最大公因數(shù)是這兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的乘積，它們的最小公倍數(shù)是這兩個數(shù) 公有質(zhì)因數(shù)和各自單獨有的質(zhì)因數(shù)的連乘積．