Question

將l，2，3，4，…，n，這些數(shù)按順序排成一個圓圈，然后將1后面的兩個數(shù)（2，3）劃去，4后面的兩個數(shù)（5，6）劃去，7后面的兩個數(shù)（8，9）劃去，…，一直劃到只剩下1個數(shù)．
（1）當n=3，9，27時，最后這個數(shù)是幾？
（2）猜想：當n=3^k（k為非零自然數(shù)）時，最后這個數(shù)是幾？
（3）當n=1001時，最后這個數(shù)是幾？試說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)字問題

專題：傳統(tǒng)應用題專題

分析：（1）第一次將劃去2、3，第二次5、6，第三次，8、9，…．則每次劃去數(shù)中第二個數(shù)都是3的倍數(shù)，所以當n=3，時，當2、3被劃去時，還剩1；n=9，還當9被劃去時，還剩下1、4、7、再劃去4、7，還剩1．如n=27，最后還剩下1．由此可以發(fā)現(xiàn)，n=3^k（k為非零自然數(shù)）時，最后剩下的都是1．
（2）據(jù)1得出的結論完成即可．
（3）由于每次劃去兩個數(shù)，則當n為偶數(shù)是，劃數(shù)不能只剩一個，只有奇數(shù)才可以．由此可通過操作找規(guī)律進行完成：
當n為3是，剩1；
當n為5是，剩4；
當n為7是，剩7；
當n為9是，剩1；
當n為11是，剩4；
當n為13是，剩7；
當n為15是，剩10；
當n為17是，剩13；
當n為19是，剩16；
當n為21是，剩19；
當n為23是，剩22；
當n為25是，剩25；
…
第一次7=7劃了3次，
第二次25=25劃了9次．
…
第K次3K-2=3K-2 用了3的K次方次，據(jù)此分析n=1001時，最后剩幾．．

解答： 解：（1）根據(jù)操作要求，當n=3，時，當2、3被劃去時，還剩1；n=9，還當9被劃去時，還剩下1、4、7、再劃去4、7，還剩1．如n=27，最后還剩下1．由此可以發(fā)現(xiàn)，n=3^k（k為非零自然數(shù)）時，最后剩下的都是1．
（2）由（2）可知，當n=3^k（k為非零自然數(shù)）時，最后這個數(shù)是1．
（3）于每次劃去兩個數(shù)，則當n為偶數(shù)是，劃數(shù)不能只剩一個，只有奇數(shù)才可以．
當n為3是，剩1；
當n為5是，剩4；
當n為7是，剩7；
當n為9是，剩1；
當n為11是，剩4；
當n為13是，剩7；
當n為15是，剩10；
當n為17是，剩13；
當n為19是，剩16；
當n為21是，剩19；
當n為23是，剩22；
當n為25是，剩25；
…
第一次7=7劃了3次，
第二次25=25劃了9次．
…
第K次3K-2=3K-2 用了3的K次方次，
1001是第501個奇數(shù)，
用等比數(shù)列的求和公式找最接近501的數(shù)
3+9+27+…+243=363，
3+9+27+…+729=1092，
則364數(shù)到501時，答案從1，4，7，10，即3n-2向后，
共138×3-2=412．
當n=1001時，最后這個數(shù)是412．

點評：完成此類題要注意根據(jù)操作規(guī)律進行操作，找出內在規(guī)律后，根據(jù)規(guī)律進行分析解答．