Question

先閱讀下列例題，然后進行解答：
例：計算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

9×10

解：因為，

1

1×2

=

1

1

-

1

2

；

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

3×4

=

1

3

-

1

4

；…

1

9×10

=

1

9

-

1

10

所以，

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…

1

9×10

=

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

…+

1

9

-

1

10

=1-

1

10

=

9

10

請根據(jù)你的理解解答下列各題：
（1）計算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2011×2012

（2）計算：

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

17×19

．

Answer 1

分析：我們可以利用例式可以看出：

1

1×2

=1-

1

2

；

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

3×4

=

1

3

-

1

4

；…

1

9×10

=

1

9

-

1

10

；把算式都加想來：=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

-…+

1

9

-

1

10

；從第二項開始就會出現(xiàn)減一個分數(shù)在加上同一個分數(shù)，到最后整理只會得到第一項的數(shù)和最后一項的數(shù)．故：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2011×2012

=1-

1

2012

=

2011

2012

．算式（2）也是：

1

1×3

=1-

2

3

；

1

3×5

=

2

3

-

3

5

；

1

5×7

=

3

5

-

4

7

；…

1

17×19

=

9

17

-

10

19

；把算式加到一起整理后得：1-

10

19

=

8

19

，故是結(jié)果是：

8

19

．

解答：（1）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2011×2012

解：=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2011

-

1

2012

=1-

1

2012

=

2011

2012

（2）

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

17×19

解：=1-

2

3

+

2

3

-

3

5

+

3

5

-

4

7

+…+

9

17

-

10

19

=1-

10

19

=

9

19

點評：我們要利用例題給我們的規(guī)律進行延伸計算，數(shù)在展開后，整理完到最后只剩下第一項和最后一項，進行計算．