Question

有一個(gè)底角為60°腰長(zhǎng)為15cm，下底長(zhǎng)是上底長(zhǎng)2倍的等腰梯形，把兩腰平均分成30份，然后把對(duì)應(yīng)等分點(diǎn)連起來(lái)，這些線段總長(zhǎng)是多少cm？

Answer 1

分析：由題意及圖，我們可以設(shè)想做一條輔助線，取下底BC中點(diǎn)E，連接AE，則BE=AD=

1

2

BC=AB，又因?yàn)椤螦BC=60度，則△ABE是等邊三角形；且四邊形AECD是平行四邊形且是菱形． 在梯形ABCD的兩腰上，分成30等分，連接兩腰的對(duì)應(yīng)等分點(diǎn)，在平行四邊形ABCE內(nèi)，對(duì)應(yīng)等分點(diǎn)連起來(lái)的這些（包括上下底）線段總長(zhǎng)是：（30+1）×15=31×15 （cm）；這些對(duì)應(yīng)等分點(diǎn)連起來(lái)的這些線段，處于△ABE內(nèi)的部分總長(zhǎng)是：[

30

30

+

29

30

+

28

30

+…+

3

30

+

2

30

+

1

30

]×15 （cm）．那么，把這兩部分相加的和即為所求．如圖：

解答：解：如圖，

取下底BC中點(diǎn)E，連接AE，由題意則BE=AD=BC÷2=AB=15cm，又因?yàn)椤螦BC=60°，
則△ABE是等邊三角形；且四邊形AECD是平行四邊形且是菱形．
在梯形ABCD的兩腰上，分成30等分，連接兩腰的對(duì)應(yīng)等分點(diǎn)，在平行四邊形ABCE內(nèi)，對(duì)應(yīng)等分點(diǎn)連起來(lái)的這些（包括上下底）線段總長(zhǎng)是：
（30+1）×15=31×15（cm）；
處于△ABE內(nèi)的這些對(duì)應(yīng)等分點(diǎn)連起來(lái)的這些線段總長(zhǎng)是：
[

30

30

+

29

30

+

28

30

+…+

3

30

+

2

30

+

1

30

]×15 （cm）．，
其中，（30/30）×15 cm是△ABE的底邊，
則，對(duì)應(yīng)等分點(diǎn)連起來(lái)形成的這些線段總長(zhǎng)是：
31×15+[

30

30

+

29

30

+

28

30

+…+

3

30

+

2

30

+

1

30

]×15
=31×15+

30+29+28+…+3+2+1

30

×15
=465+

(1+30)×30÷2

30

×15
=465+

465

2

=697.5 （cm）
答：這些線段總長(zhǎng)697.5cm．

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)難度較高的等差數(shù)列應(yīng)用題，綜合考查了等差數(shù)列求和，等腰梯形、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．