Question

【題目】平面上5個(gè)圓最多能把平面分成多少個(gè)部分？

Answer 1

【答案】22

【解析】

1個(gè)圓最多能把平面分成2個(gè)部分；2個(gè)圓最多能把平面分成4個(gè)部分；3個(gè)圓最多能把平面分成8個(gè)部分；現(xiàn)在加入第4個(gè)圓，為了使分成的部分最多，第4個(gè)圓必須與前面3個(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn)．如圖1－72所示．因此得6個(gè)交點(diǎn)，這6個(gè)交點(diǎn)將第4個(gè)圓的圓周分成6段圓弧，而每一段圓弧將原來的部分一分為二，即增加了一個(gè)部分，于是，4個(gè)圓最多將平面分成8+6=14個(gè)部分．以此類推，我們可以計(jì)算出n個(gè)圓最多分平面的部分?jǐn)?shù)為：2+1×2+2×2+…+(n-1)×2

=2+2［1+2+…+(n-1)］

=n2-n+2．

1個(gè)圓最多能把平面分成2個(gè)部分；2個(gè)圓最多能把平面分成4個(gè)部分；3個(gè)圓最多能把平面分成8個(gè)部分；現(xiàn)在加入第4個(gè)圓，為了使分成的部分最多，第4個(gè)圓必須與前面3個(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn)．如圖1－72所示．因此得6個(gè)交點(diǎn)，這6個(gè)交點(diǎn)將第4個(gè)圓的圓周分成6段圓弧，而每一段圓弧將原來的部分一分為二，即增加了一個(gè)部分，于是，4個(gè)圓最多將平面分成8+6=14個(gè)部分．

同樣道理，5個(gè)圓最多將平面分成14+8=22個(gè)部分．

所以，5個(gè)圓最多將平面分成22個(gè)部分．