題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分14分)
已知函數(shù)。
(1)證明:
(2)若數(shù)列的通項公式為,求數(shù)列 的前項和;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3)設(shè)數(shù)列滿足:,設(shè),
若(2)中的滿足對任意不小于2的正整數(shù),恒成立,
試求的最大值。
(本小題滿分14分)已知,點在軸上,點在軸的正半軸,點在直線上,且滿足,. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅰ)當(dāng)點在軸上移動時,求動點的軌跡方程;
(Ⅱ)過的直線與軌跡交于、兩點,又過、作軌跡的切線、,當(dāng),求直線的方程.(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3)若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰好有兩個相異的實根,求實數(shù)的取值范圍。(本小題滿分14分)
已知,其中是自然常數(shù),
(1)討論時, 的單調(diào)性、極值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)求證:在(1)的條件下,;
(3)是否存在實數(shù),使的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
(本小題滿分14分)
設(shè)數(shù)列的前項和為,對任意的正整數(shù),都有成立,記。
(I)求數(shù)列的通項公式;
(II)記,設(shè)數(shù)列的前項和為,求證:對任意正整數(shù)都有;
(III)設(shè)數(shù)列的前項和為。已知正實數(shù)滿足:對任意正整數(shù)恒成立,求的最小值。
第Ⅰ卷
一、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
B
B
A
C
A
D
C
第Ⅱ卷
二、填空題
9、3 , ; 10、; 11、(A); (B);(C)(); 12、0.5 13、28 ,
三、解答題
14、(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)=
=+
=+
所以,的最小正周期
(Ⅱ)
由三角函數(shù)圖象知:
的取值范圍是
15、(本小題滿分12分)
方法一:
證:(Ⅰ)在Rt△BAD中,AD=2,BD=,
∴AB=2,ABCD為正方形,
因此BD⊥AC.
∵PA⊥平面ABCD,BDÌ平面ABCD,
∴BD⊥PA .
又∵PA∩AC=A
∴BD⊥平面PAC.
解:(Ⅱ)由PA⊥面ABCD,知AD為PD在平面ABCD的射影,又CD⊥AD,
∴CD⊥PD,知∠PDA為二面角P―CD―B的平面角.
又∵PA=AD,
∴∠PDA=450 .
(Ⅲ)∵PA=AB=AD=2
∴PB=PD=BD=
設(shè)C到面PBD的距離為d,由,
有,
即,
得
方法二:
證:(Ⅰ)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2).
在Rt△BAD中,AD=2,BD=,
∴AB=2.
∴B(2,0,0)、C(2,2,0),
∴
∵
即BD⊥AP,BD⊥AC,又AP∩AC=A,
∴BD⊥平面PAC.
解:(Ⅱ)由(Ⅰ)得.
設(shè)平面PCD的法向量為,則,
即,∴
故平面PCD的法向量可取為
∵PA⊥平面ABCD,∴為平面ABCD的法向量.
設(shè)二面角P―CD―B的大小為q,依題意可得,
∴q = 450 .
(Ⅲ)由(Ⅰ)得
設(shè)平面PBD的法向量為,則,
即,∴x=y=z
故平面PBD的法向量可取為.
∵,
∴C到面PBD的距離為
16、(本小題滿分14分)
解:(1)設(shè)“甲射擊4次,至少1次未擊中目標(biāo)”為事件A,則其對立事件為“4次均擊中目標(biāo)”,則
(2)設(shè)“甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次”為事件B,則
(3)設(shè)“乙恰好射擊5次后,被中止射擊”為事件C,由于乙恰好射擊5次后被中止射擊,故必然是最后兩次未擊中目標(biāo),第三次擊中目標(biāo),第一次及第二次至多有一次未擊中目標(biāo)。
故
17、(本小題滿分14分)
解:(Ⅰ)由 得
即
可得
因為,所以 解得,因而
(Ⅱ)因為是首項、公比的等比數(shù)列,故
則數(shù)列的前n項和
前兩式相減,得
即
18、(本小題滿分14分)
解:(1) ,設(shè)切點為,則曲線在點P的切線的斜率,由題意知有解,
∴即.
(2)若函數(shù)可以在和時取得極值,
則有兩個解和,且滿足.
易得.
(3)由(2),得.
根據(jù)題意,()恒成立.
∵函數(shù)()在時有極大值(用求導(dǎo)的方法),
且在端點處的值為.
∴函數(shù)()的最大值為.
所以.
19、(本小題滿分14分)
解:(1)∵成等比數(shù)列 ∴
設(shè)是橢圓上任意一點,依橢圓的定義得
即為所求的橢圓方程.
(2)假設(shè)存在,因與直線相交,不可能垂直軸
因此可設(shè)的方程為:由
①
方程①有兩個不等的實數(shù)根
∴ ②
設(shè)兩個交點、的坐標(biāo)分別為 ∴
∵線段恰被直線平分 ∴
∵ ∴ ③ 把③代入②得
∵ ∴ ∴解得或
∴直線的傾斜角范圍為
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