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數(shù)學(xué)課上，張老師用六根長度均為a的塑料棒搭成了一個(gè)正三棱錐（如圖所示），然后他將其中的兩根換成長度分別為在

2

a和

3

a的塑料棒、又搭成了一個(gè)三棱錐，陳成同學(xué)邊聽課邊動手操作，也將其中的兩根換掉，但沒有成功，不能搭成三棱錐，如果兩人都將BD換成了長為

3

a的塑料棒．
（1）試問張老師換掉的另一根塑料棒是什么，而陳成同學(xué)換掉的另一根塑料棒又是什么？請你用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識解釋陳成同學(xué)失敗的原因；
（2）試證：平面ABD⊥平面CBD；
（3）求新三棱錐的外接球的表面積．

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題號

答案

1.解析：命題“”的否命題是：“”，故選C．

2.解析：由已知，得：，故選．

3.解析：若，則，解得．故選．

4.解析：由題意得，又．

故選．

5.解析：設(shè)成績?yōu)?sub>環(huán)的人數(shù)是，由平均數(shù)的概念，得：．

故選．

6.解析：是偶函數(shù)；是指數(shù)函數(shù)；是對數(shù)函數(shù)．故選．

7.解析：①的三視圖均為正方形；②的三視圖中正視圖．側(cè)視圖為相同的等腰三角形，俯視圖為圓；④的三視圖中正視圖．側(cè)視圖為相同的等腰三角形，俯視圖為正方形．故選．

8.解析：程序的運(yùn)行結(jié)果是，選．

9.解析：的圖象先向左平移，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?sub>倍．答案：．

10.解析：特殊值法：令，有．故選．

題號

11

12

13

14

15

答案

11.解析：．

12.解析：令，則，令，則，

同理得即當(dāng)時(shí)，的值以為周期，

所以．

13.解析：由圖象知：當(dāng)函數(shù)的圖象過點(diǎn)時(shí)，

取得最大值為2．

14. (坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)解析：將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，圓上的動點(diǎn)到直線的距離的最大值就是圓心到直線的距離再加上半徑．故填．

15. (幾何證明選講選做題)解析：連結(jié)，

則在和中：，

且，所以，

故．

三．解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明．證明過程和演算步驟．

16.析：主要考察三角形中的邊角關(guān)系、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、二次函數(shù)的最值．

解：(Ⅰ)∵，∴，     ………………3分

又∵，∴．    ……………………………………………5分

（Ⅱ）　　 ……………………………………………6分

，  ………………………8分

∵，∴．　　 ……………10分

∴當(dāng)時(shí)，取得最小值為．   …………12分

17．析：主要考察立體幾何中的位置關(guān)系、體積．

解：(Ⅰ)證明：連結(jié)，則//，   …………1分

∵是正方形，∴．∵面，∴．

又，∴面．    ………………4分

∵面，∴，

∴．  …………………………………………5分

（Ⅱ）證明：作的中點(diǎn)F，連結(jié)．

∵是的中點(diǎn)，∴，

∴四邊形是平行四邊形，∴ ． ………7分

∵是的中點(diǎn)，∴，

又，∴．

∴四邊形是平行四邊形，//，

∵，，

∴平面面．  …………………………………9分

又平面，∴面．  ………………10分

（3）．　……………………………11分

．  ……………………………14分

18．析：主要考察事件的運(yùn)算、古典概型．

解：設(shè)“朋友乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)來”分別為事件，則，，，，且事件之間是互斥的．

(Ⅰ)他乘火車或飛機(jī)來的概率為………4分

(Ⅱ)他乘輪船來的概率是，

所以他不乘輪船來的概率為． ………………8分　

（Ⅲ)由于，

所以他可能是乘飛機(jī)來也可能是乘火車或汽車來的． …………………12分　

19.析：主要考察函數(shù)的圖象與性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．

解：(Ⅰ)由函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，得，………………1分

∴，∴．　…………2分

∴，∴．　……………………………4分

∴，即．　　……………………6分

∴． ……………………………………………………7分

 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，∴．

由 ，∴．　　　…………………9分

0

+

0

ㄋ

極小

ㄊ

極大

ㄋ

∴．　 ………………………14分

20．析：主要考察直線．圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系．

解：(Ⅰ)（法一）∵點(diǎn)在圓上，    …………………………2分

∴直線的方程為，即．   ……………………………5分

（法二）當(dāng)直線垂直軸時(shí)，不符合題意．     ……………………………2分

當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，即．

則圓心到直線的距離，即：，解得，……4分

∴直線的方程為．    ……………………………………………5分

（Ⅱ）設(shè)圓：，∵圓過原點(diǎn)，∴．

∴圓的方程為．…………………………7分

∵圓被直線截得的弦長為，∴圓心到直線：的距離：

．   …………………………………………9分

整理得：，解得或． ……………………………10分

∵，∴．   …………………………………………………………13分

∴圓：．  ……………………………………14分

21．析：主要考察等差、等比數(shù)列的定義、式，求數(shù)列的和的方法．

解：(Ⅰ)設(shè)的公差為，則：，，

∵，，∴，∴．　………………………2分

∴．  …………………………………………4分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，由，得．     …………………5分

當(dāng)時(shí)，，，

∴，即．　 …………………………7分

  ∴．　　　……………………………………………………………8分

∴是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．　…………………………………9分

（Ⅲ）由（2）可知：． 　 ……………………………10分

∴．　…………………………………11分

∴．

∴．

∴

．    ………………………………………13分

∴．　　…………………………………………………14分